Балка на двух пружинах

Сначала найдите деформации пружин в наклонном положении из условия равновесия моментов относительно центра балки и разницы их длин. Затем запишите условие горизонтального положения с добавленной массой.

\(m=\dfrac{k_1 l}{2g}\).

Пусть пружина с жёсткостью \(k_1\) растянута на \(x_1\), пружина с жёсткостью \(k_2\) — на \(x_2\). Балка наклонена, поэтому её концы расположены по вертикали на разной высоте, и разность удлинений \(x_2-x_1=\dfrac{l}{2}\) (против угла \(30^\circ\) лежит катет, равный половине гипотенузы). Условие равновесия моментов относительно середины балки даёт \(k_1x_1=k_2x_2\), а сила тяжести балки \(Mg=k_1x_1+k_2x_2\). Отсюда \[x_2=\dfrac{k_1 l}{2(k_1-k_2)},\qquad Mg=\dfrac{k_1k_2 l}{k_1-k_2}.\] Когда к левому краю прикреплена масса \(m\) и балка горизонтальна, обе пружины растянуты одинаково на \(x\): \((k_1+k_2)x=mg+Mg\). Моменты относительно середины: \((k_1x-mg)\dfrac{l}{2}=k_2x\dfrac{l}{2}\), откуда \(x=\dfrac{mg}{k_1-k_2}\). Подставляя, получаем \(\dfrac{2k_2}{k_1-k_2}\,mg=Mg\), то есть \(m=\dfrac{M(k_1-k_2)}{2k_2}\). Используя \(Mg=\dfrac{k_1k_2l}{k_1-k_2}\), находим \[m=\dfrac{k_1 l}{2g}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.