Кот и мышь в квадратной комнате

Мышь и кот встречаются в норках, где время движения мыши по своему пути равно времени движения кота по его пути. Сравните эти времена для всех четырёх норок и проверьте, что для найденного отношения скоростей более ранних встреч нет.

Норки расположены на расстоянии \(xa\) от углов комнаты; соотношение скоростей мыши \(v\) и кота \(u\): \[\dfrac{v}{u}=\dfrac{3+x}{4\sqrt{1-2x+2x^2}}.\]

Пусть \(b=xa\), \(c=(1-x)a\) — катеты отрезков между норками, \(v\) — скорость мыши, \(u\) — скорость кота. Сторона внутреннего квадрата, по которому бежит мышь, равна \(\sqrt{b^2+c^2}\). Для каждой из четырёх норок приравняем время движения мыши и время движения кота: \[\dfrac{b}{v}=\dfrac{3\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \dfrac{2b+c}{v}=\dfrac{2\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \dfrac{3b+2c}{v}=\dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{u},\qquad \dfrac{4b+3c}{v}=\dfrac{4\sqrt{b^2+c^2}}{u}.\] Из последнего равенства находим отношение скоростей, соответствующее встрече у четвёртой норки: \[\dfrac{v}{u}=\dfrac{4b+3c}{4\sqrt{b^2+c^2}}=\dfrac{3+x}{4\sqrt{1-2x+2x^2}}.\] Чтобы убедиться, что при этом отношении не происходит встреч у предыдущих норок, приравняем соответствующие условия к найденному отношению: получаются значения \(x=9\), \(x=1\) и \(x=-\dfrac{5}{3}\) (для второй, третьей и первой норок соответственно), и ни одно из них не удовлетворяет условию \(0<x<1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.