Плавающие части двух нанокомпозитов

Для каждого образца запишите средние плотности через плотности компонентов и условие плавания: сила Архимеда уравновешивает вес погружённой части. Доля плавающей над водой части равна доле объёма, не погружённого в воду.

\(\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{2\rho(\rho_1+\rho_2)-4\rho_1\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)\bigl(2\rho-(\rho_1+\rho_2)\bigr)}\), где \(\alpha\) и \(\beta\) — доли плавающих частей первого и второго образца, \(\rho\) — плотность воды, \(\rho_1\) и \(\rho_2\) — плотности компонентов А и Б.

Обозначим \(\alpha\) и \(\beta\) — доли, которые составляют плавающие над поверхностью части в первом и во втором случае соответственно.

Первый образец: массы компонентов равны, \(\rho_1V_1=\rho_2V_2\), общая масса \(2m\), где \(m=\rho_1V_1\). Условие плавания: \[(1-\alpha)(V_1+V_2)\rho g=2mg,\] откуда, с учётом \(V_1+V_2=V_1\dfrac{\rho_1+\rho_2}{\rho_2}\), получаем \[\alpha=\dfrac{\rho(\rho_1+\rho_2)-2\rho_1\rho_2}{\rho(\rho_1+\rho_2)}.\] Второй образец: объёмы компонентов равны, \(V\) каждого, масса \(V(\rho_1+\rho_2)\). Условие плавания: \[(1-\beta)\,2V\rho g=V(\rho_1+\rho_2)g,\qquad \beta=\dfrac{2\rho-(\rho_1+\rho_2)}{2\rho}.\] Отношение: \[\dfrac{\alpha}{\beta}=\dfrac{2\rho(\rho_1+\rho_2)-4\rho_1\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)\bigl(2\rho-(\rho_1+\rho_2)\bigr)}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.