Оборудование: металлическая цепочка массой \(m = (10{,}7 \pm 0{,}2)\) г; мерная лента; лист ДВП; штатив с муфтой и лапкой, в которой зажато крепление для цепочки; два листа миллиметровой бумаги для построения графиков. Задание. На горизонтальной белой поверхности листа ДВП (далее будем называть эту поверхность «рабочей») расположите выданную Вам цепочку так, как показано на рис. 1. Здесь \(H\) — высота точки крепления цепочки над рабочей поверхностью, \(s\) — длина горизонтальной части цепочки в положении, когда она находится в равновесии при максимально удалённом от штатива свободном конце. Обе части цепочки — и горизонтальная, и висящая в воздухе — должны находиться в одной вертикальной плоскости, проходящей через точку крепления цепочки к лапке штатива. Убедитесь, что цепочка не перекручена и на ней нет узлов или заломов. Цепочку можно считать однородной. Ускорение свободного падения равно \(g = (9{,}80 \pm 0{,}05)\) м/с\(^2\). Отсоединять цепочку от лапки штатива и перемещать штати

1) \(L = (99{,}8 \pm 0{,}2)\) см; 3) \(H = \sqrt{(L - s)^2 + \mu^2 s^2} - \mu s\), или \(\dfrac{(L-s)^2}{H^2} - 1 = 2\mu\dfrac{s}{H}\); 5) \(\mu = 0{,}14 \pm 0{,}01\); 7) \(A \approx (50{,}5 \pm 2)\) мДж.

Цепная линия — ВсОШ 2024/25, 10 кл., задача 1

Цепная линия
ВсОШ 2024/25, 10 кл.
6/10
Оборудование: металлическая цепочка массой \(m = (10{,}7 \pm 0{,}2)\) г; мерная лента; лист ДВП; штатив с муфтой и лапкой, в которой зажато крепление для цепочки; два листа миллиметровой бумаги для построения графиков.

Задание. На горизонтальной белой поверхности листа ДВП (далее будем называть эту поверхность «рабочей») расположите выданную Вам цепочку так, как показано на рис. 1. Здесь \(H\) — высота точки крепления цепочки над рабочей поверхностью, \(s\) — длина горизонтальной части цепочки в положении, когда она находится в равновесии при максимально удалённом от штатива свободном конце. Обе части цепочки — и горизонтальная, и висящая в воздухе — должны находиться в одной вертикальной плоскости, проходящей через точку крепления цепочки к лапке штатива. Убедитесь, что цепочка не перекручена и на ней нет узлов или заломов.

Цепочку можно считать однородной. Ускорение свободного падения равно \(g = (9{,}80 \pm 0{,}05)\) м/с\(^2\).

Отсоединять цепочку от лапки штатива и перемещать штатив запрещено!
1. Измерьте длину \(L\) выданной цепочки. Оцените погрешность полученного значения.
2. Экспериментально исследуйте зависимость длины \(s\) горизонтальной части цепочки от высоты \(H\) точки её крепления над рабочей поверхностью. Снимите не менее 15 точек.
3. Выведите формулу теоретической зависимости, связывающей \(H\), \(s\) и \(\mu\) — коэффициент трения звеньев цепочки о рабочую поверхность.
4. Используя экспериментальные данные и результат пункта 3, постройте график зависимости, связывающей \(s\) и \(H\). Выберите величины, откладываемые по осям, таким образом, чтобы полученный график был прямой линией.
5. С помощью графика, построенного в пункте 4, определите коэффициент трения \(\mu\) между звеньями цепочки и рабочей поверхностью. Оцените погрешность полученного значения.
6. Используя экспериментальные значения, полученные в пункте 2, и применяя экстраполяцию, постройте график зависимости \((L - s)\) от \(H\) во всём диапазоне \(H \in [0; L]\).
7. С помощью полученного в пункте 6 графика вычислите работу \(A\), которую совершает сила, действующая на цепочку со стороны крепления, при медленном подъёме точки крепления от высоты \(H_1 = 30{,}0\) см до \(H_2 = L\). Оцените погрешность полученного значения. В данном пункте считайте, что в процессе перемещения точка крепления цепочки движется строго вертикально.
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Запишите условия равновесия для висящей части (с натяжением в точке крепления) и для лежащей части (с силой трения). Сравните натяжение, найденное двумя способами: через силы и через работу при малом подъёме точки крепления.
Ответ
1) \(L = (99{,}8 \pm 0{,}2)\) см; 3) \(H = \sqrt{(L - s)^2 + \mu^2 s^2} - \mu s\), или \(\dfrac{(L-s)^2}{H^2} - 1 = 2\mu\dfrac{s}{H}\); 5) \(\mu = 0{,}14 \pm 0{,}01\); 7) \(A \approx (50{,}5 \pm 2)\) мДж.
Решение
Длину цепочки измеряем мерной лентой, предварительно вынув лапку из крепления или развернув её так, чтобы цепочка висела вертикально: \(L = (99{,}8 \pm 0{,}2)\) см.

Таблица измерений \(s(H)\) (не менее 15 точек) приведена в официальном решении (sol-phys-10-prak-final-24-25.pdf). Обозначим \(l = L - s\) — длину висящей части, \(m_1 = m\,l/L\) — её массу, \(m_2 = m\,s/L\) — массу горизонтального участка.

Для горизонтальной части \(N = m_2 g\), \(F_{\text{тр}} = \mu N = \mu m g s/L\). Для висящей части \(T_1\cos\alpha = T_2 = \mu m g s/L\), \(T_1\sin\alpha = m_1 g = m g l/L\), откуда \(T_1 = \dfrac{mg}{L}\sqrt{l^2 + \mu^2 s^2}\).

Метод виртуальных перемещений (смещение висящей части вдоль неё на \(\Delta x\)) даёт \(T_1 - T_2 = mgH/L\). Подставляя \(T_1\) и \(T_2\): \[H = \sqrt{(L - s)^2 + \mu^2 s^2} - \mu s .\] Перепишем: \((H + \mu s)^2 = l^2 + \mu^2 s^2\), откуда \[\left(\frac{l}{H}\right)^2 - 1 = 2\mu\,\frac{s}{H}.\] Значит, при откладывании \(s/H\) по одной оси и \((l/H)^2 - 1\) по другой график линеен и проходит через начало координат с наклоном \(k = 2\mu\).

По экспериментальным точкам (миллиметровка, рис. 3 официального решения) наклон \(k = 0{,}28\), откуда \(\mu = 0{,}14\); методом границ \(\Delta k \approx 0{,}02\), \(\Delta\mu \approx 0{,}01\).

Для пункта 6 строим \(l(H)\) по экспериментальным точкам и добавляем теоретические: при \(H = 0\) цепочка лежит на поверхности, \(l = 0\); при \(H = L\) цепочка висит вертикально, \(l = L\). Сглаживающая кривая дана на рис. 4 официального решения.

Работа силы натяжения при малом подъёме \(\Delta H\): \(\Delta A = T_1\sin\alpha\,\Delta H = \dfrac{mg}{L}\,l\,\Delta H\), то есть \(A = \dfrac{mg}{L}\,S\), где \(S\) — площадь под графиком \(l(H)\) между \(H_1\) и \(H_2\). На участке, близком к прямой, \(S = \dfrac{l(H_1) + l(H_2)}{2}(H_2 - H_1) = \dfrac{38 + 99{,}8}{2}\cdot 69{,}8 \approx 4809\) см\(^2\), отсюда \(A \approx 50{,}5\) мДж.

Относительная погрешность: \(\varepsilon_m \approx 1{,}87\%\), \(\varepsilon_L \approx 0{,}20\%\), \(\varepsilon_g \approx 0{,}51\%\), \(\varepsilon_S \approx 1{,}2\%\); суммарно \(\varepsilon_A \approx 3{,}8\%\), \(\Delta A \approx 2\) мДж.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Цепная линия

Цепная линия

Похожие задачи