Стержень с изгибами на опоре

Момент силы тяжести каждой части стержня равен её массе, умноженной на плечо её центра масс относительно опоры. Не забудьте, что исходная левая половина стержня тоже даёт момент.

Чтобы рычаг находился в равновесии, моменты сил, действующие на правую и левую от опоры части рычага, должны равняться друг другу. На левую часть рычага действует такой момент сил \[N_{лев} = \frac{1}{8}\,Mgl,\] где \(M\) — масса всего стержня, \(l\) — его длина (коэффициент \(1/8\) получается так: масса левой половины рычага \(M/2\), плечо — половина от длины левой половины рычага, т.е. \(l/4\)).

Найдём момент силы тяжести, действующий на правую часть рычага. Так как правую часть согнули пять раз, она состоит из шести частей с массой \(M/12\) каждая. Длина каждой части — \(l/12\). Плечи каждой части \(l_i\) легко найти из рисунка: \[l_1 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{12}\,l = \frac{l}{24}, \quad l_2 = \frac{l}{12}, \quad l_3 = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{12}\,l = \frac{l}{8}, \quad l_4 = \frac{l}{6},\] \[l_5 = \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{12}\,l = \frac{5l}{24}, \quad l_6 = \frac{l}{4}.\] Отсюда находим момент сил тяжести, действующих на правую часть рычага (с учётом груза \(m\) на конце, плечо которого \(l/4\)): \[N_{прав} = \frac{7}{96}\,Mgl + \frac{1}{4}\,mgl.\] Приравнивая моменты \(N_{лев}\) и \(N_{прав}\), получим \[m = \frac{5}{24}\,M.\]