Льдина в аквариуме

Из условия плавания найдите, какая доля льдины погружена в воду. Критическая ситуация — когда уровень воды достигает края сосуда.

Из закона Архимеда следует, что при плавании льдины в воду погружено девять десятых её объёма. Действительно, условие плавания льдины даёт \[mg = \rho_0 g V_{п.ч.},\] где \(m\) — масса льдины, \(g\) — ускорение свободного падения, \(\rho_0\) — плотность воды, \(V_{п.ч.}\) — объём погружённой в воду части льдины. Поскольку \(m = \rho V\) (\(\rho\) — плотность льда), из условия плавания заключаем, что доля погружённой в воду части льдины составляет девять десятых её объёма: \[\frac{V_{п.ч.}}{V} = \frac{\rho}{\rho_0} = 0{,}9.\] А это означает, что «опасным» будет выливание воды через край сосуда, а не касание льдиной дна сосуда. Действительно, при увеличении объёма льдины с одной стороны поднимается уровень воды в сосуде, с другой — нижние точки плавающей льдины приближаются ко дну сосуда. Но поскольку сосуд и льдина кубические, то если льдина займёт всю площадь сосуда (см. первый рисунок в решении), дна доставать она не будет, так как в воду погружается девять десятых её объёма.

Итак, «критический» размер ребра льдины \(b\) отвечает ситуации, когда уровень воды в сосуде достиг края сосуда. Это значит, что объём воды в сосуде плюс объём погружённой в воду части льдины должны равняться объёму сосуда. Учитывая, что объём воды в сосуде равен половине объёма сосуда и что в воду погружены девять десятых объёма льдины, условие критичности ситуации даёт \[\frac{1}{2}a^3 + \frac{9}{10}b^3 = a^3.\] Отсюда находим \[b = \sqrt[3]{\frac{5}{9}}\,a.\]