Стержень у стены с пружиной

Подсказка

Запишите условия равновесия стержня (сумма сил и сумма моментов) и выразите котангенс угла наклона стержня через длину пружины.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на стержень:

• сила тяжести \(mg\), приложенная в центре стержня;

• сила нормальной реакции стены \(N_1\), направленная горизонтально;

• сила упругости пружины \(F_{\text{упр}}\), направленная горизонтально к стене (удерживает стержень от скольжения);

• сила нормальной реакции пола \(N_2\), направленная вертикально вверх.

Поскольку пол и стена гладкие, силы трения отсутствуют.

Будем описывать систему на основе условий равновесия тел: \[\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0, \qquad \sum M = 0.\] Из второго закона Ньютона в проекции на ось \(Oy\): \[N_2 - mg = 0 \;\Rightarrow\; N_2 = mg.\] Пусть угол между стержнем и полом в положении равновесия равен \(\alpha\). Из уравнения моментов относительно точки \(A\) — точки опоры стержня о вертикальную стенку: \[mg\frac{l}{2}\cos\alpha + F_{\text{упр}}\, l\sin\alpha - N_2\, l\cos\alpha = 0.\] Подставим полученное для \(N_2\) выражение в уравнение моментов: \[mg\frac{1}{2}\cos\alpha + F_{\text{упр}}\sin\alpha = mg\cos\alpha.\] Отсюда получаем: \[F_{\text{упр}} = \frac{mg}{2}\operatorname{ctg}\alpha.\] С учётом явного выражения для силы упругости \(F_{\text{упр}} = k\Delta x\) и выражения для \(\operatorname{ctg}\alpha\) из геометрических соображений \[\operatorname{ctg}\alpha = \frac{l_0 + \Delta x}{\sqrt{l^2 - (l_0 + \Delta x)^2}},\] получаем \[k\Delta x = \frac{mg}{2}\cdot\frac{l_0 + \Delta x}{\sqrt{l^2 - (l_0 + \Delta x)^2}}.\] Решая полученное уравнение относительно начальной длины пружины \(l_0\), получаем \[l_0 = \left(\frac{l}{\sqrt{\left(\dfrac{mg}{2k}\right)^2 + \Delta x^2}} - 1\right)\Delta x.\] Ответ: \(33\) см.