Шарик на тележке

Пока нить не оборвалась, на систему «шарик + тележка» действуют только сила тяжести и сила натяжения нити, поэтому можно записать законы сохранения импульса и энергии.

Рассмотрим движение шарика и тележки после того, как нить была отпущена. Пока нить не оборвалась, система «шарик + тележка» замкнута вдоль оси \(Ox\). Следовательно, выполняется закон сохранения проекции импульса на ось \(Ox\) и закон сохранения энергии.

В момент, когда нить занимает вертикальное положение и готова оборваться, вся потенциальная энергия шарика превращается в кинетическую энергию шарика и тележки: \[mgL = \frac{Mv^2}{2} + \frac{mu^2}{2},\] где \(u\) — скорость шарика, а \(v\) — скорость тележки.

Из закона сохранения проекции импульса: \[0 = mu - Mv, \qquad v = \frac{m}{M} u.\] Подставим это выражение в уравнение энергии: \[mgL = \frac{M}{2}\cdot\frac{m^2u^2}{M^2} + \frac{mu^2}{2}, \qquad mgL = \frac{mu^2}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right).\] Отсюда: \[u = \sqrt{\frac{2gLM}{M + m}}, \qquad v = \frac{m}{M}u = \sqrt{\frac{2gLm^2}{M(M + m)}}.\] После обрыва нити шарик начинает движение по параболе, падая с высоты \(L\) (высота над уровнем тележки). Время падения определяется по формуле: \[t = \sqrt{\frac{2L}{g}}.\] Горизонтальное перемещение шарика относительно земли: \(x_{\text{ш}} = ut\), а тележки: \(x_{\text{т}} = vt\).

Итак, расстояние между шариком и тележкой в момент падения шарика на тележку: \[s = x_{\text{ш}} + x_{\text{т}} = (u + v)t.\] Подставим найденные значения скоростей и времени: \[s = (u + v)t = 2L\sqrt{\frac{m + M}{M}}.\] Ответ: \(2{,}2\) м.