Работа в треугольном цикле

Из уравнения состояния и условия, что точки 1 и 2 лежат на прямой через начало координат, найдите объёмы и давления в точках 2 и 3 через \(T_1\) и \(T_2\), затем вычислите площадь треугольника цикла.

По условию точки 1 и 2 лежат на одной прямой, проходящей через начало координат, поэтому выполняется соотношение \(p = \alpha V\).

Используем уравнение Менделеева–Клапейрона: \(pV = \nu RT \Rightarrow \alpha V^2 = \nu R T\). Следовательно: \[\frac{V^2}{T} = \text{const}, \qquad \frac{V_2^2}{T_2} = \frac{V_1^2}{T_1}.\] Отсюда: \[V_2 = V_1\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}, \qquad p_2 = p_1\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}.\] На участке 2–3 объём постоянен: \(V_2 = V_3\).

Из уравнения состояния: \[\frac{p_2}{T_2} = \frac{p_3}{T_3} \;\Rightarrow\; p_3 = p_2\frac{T_3}{T_2} = p_1\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}\cdot\frac{T_3}{T_2}.\] Так как \(T_3 = T_1\), получаем: \[p_3 = p_1\sqrt{\frac{T_1}{T_2}}.\] Работу газа за цикл вычислим как площадь, ограниченную диаграммой процесса: \[A = \frac{p_2 - p_3}{2}\,(V_2 - V_1).\] Подставим найденные выражения для \(p_2\), \(p_3\), \(V_2\): \[A = \frac{p_1}{2}\left(\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} - \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}\right) \left(V_1\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} - V_1\right).\] Используя \(p_1V_1 = \nu RT_1\), получаем: \[A = \frac{\nu R T_1}{2}\cdot\frac{T_2 - T_1}{\sqrt{T_1T_2}}\left(\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} - 1\right) = \frac{\nu R (T_2 - T_1)}{2}\cdot\sqrt{\frac{T_1}{T_2}}\left(\sqrt{\frac{T_2}{T_1}} - 1\right) = \frac{\nu R (T_2 - T_1)}{2}\left(1 - \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}\right).\] Ответ: \(524\) Дж.