Гелий под поршнем с трением

Пока поршень неподвижен, давление гелия уравновешивает атмосферное давление и силу трения покоя; при нагревании давление гелия остаётся постоянным, а при охлаждении поршень начинает двигаться, когда сила трения достигает максимума.

При достаточно медленном заполнении цилиндра сила давления гелия на поршень равна сумме атмосферного давления и силы трения покоя: \[p_0 S = F_{\text{атм}} + F_{\text{тр}},\] где \(p_0\) — давление гелия непосредственно перед его нагреванием, а \(S\) — площадь поршня.

Поскольку величина силы трения скольжения равна максимальному значению силы трения покоя и не зависит от температуры цилиндра, а после закрытия крана количество вещества \(\nu\) гелия в цилиндре под поршнем не изменяется, то при нагревании давление в цилиндре должно оставаться неизменным — изобарный процесс, а объём гелия должен увеличиваться. Пусть температура гелия непосредственно перед нагреванием равна \(T_0\), перед охлаждением — \(T_{\max}\). После нагревания гелий изохорно охлаждают; при температуре \(T_{\text{к}}\) поршень начинает двигаться — при этом сила трения покоя уже направлена в противоположную сторону, а её модуль достиг максимально возможного значения.

Запишем уравнения Менделеева–Клапейрона для гелия в описанных состояниях: \[p_0 V_0 = \nu R T_0, \qquad p_0 V_{\max} = \nu R T_{\max}, \qquad p_{\text{к}} V_{\max} = \nu R T_{\text{к}},\] где \(V_0\) и \(V_{\max}\) — объём гелия до и после нагревания.

Из уравнения состояния находим отношение давлений: \[\frac{p_{\text{к}}}{p_0} = \frac{T_{\text{к}}}{T_{\max}}.\] Также из уравнений состояния получим связь между температурами: \[k = \frac{V_{\max}}{V_0} = \frac{T_{\max}}{T_0}.\] Известно, что отведённое количество теплоты в \(n\) раз меньше полученного при нагревании. Для одноатомного идеального газа: \[Q_{\text{нагрев}} = \frac{5}{2}\nu R(T_{\max} - T_0), \qquad Q_{\text{охлажд}} = \frac{3}{2}\nu R(T_{\max} - T_{\text{к}}).\] По условию \(Q_{\text{нагрев}} = n\,Q_{\text{охлажд}}\): \[5(T_{\max} - T_0) = 3n(T_{\max} - T_{\text{к}}).\] Отсюда, подставляя \(T_{\max} = kT_0\), получаем: \[T_{\text{к}} = kT_0\left(1 - \frac{5(k-1)}{3nk}\right).\] Тогда отношение давлений: \[\frac{p_{\text{к}}}{p_0} = 1 - \frac{5(k-1)}{3nk}.\] Когда поршень начинает двигаться при охлаждении гелия, выполняется соотношение \[p_{\text{к}} S = F_{\text{атм}} - F_{\text{тр}},\] так как сила трения теперь направлена противоположно движению. Следовательно: \[p_{\text{к}} = \frac{F_{\text{атм}} - F_{\text{тр}}}{S}, \qquad p_0 = \frac{F_{\text{атм}} + F_{\text{тр}}}{S}.\] Разделим полученные уравнения друг на друга и выразим искомое отношение сил: \[\frac{F_{\text{атм}}}{F_{\text{тр}}} = \frac{1 + \dfrac{p_{\text{к}}}{p_0}}{1 - \dfrac{p_{\text{к}}}{p_0}} = \frac{6nk - 5(k-1)}{5(k-1)}.\] Ответ: \(6{,}5\).