Параллельные источники и нагрузка

Составьте уравнения Кирхгофа для токов в ветвях, найдите ток через нагрузку \(R\) и сравните эквивалентное внутреннее сопротивление системы с диапазоном изменения \(R\).

По первому и второму законам Кирхгофа для данной схемы имеем: \[I_1 + I_2 - I = 0, \qquad I_1 r_1 + IR = \mathcal{E}_1, \qquad I_2 r_2 + IR = \mathcal{E}_2.\] Из этой системы уравнений выразим ток, проходящий через нагрузку (резистор \(R\)): \[I = \frac{r_1\mathcal{E}_2 + r_2\mathcal{E}_1}{r_1r_2 + R(r_1 + r_2)}.\] Мощность на сопротивлении \(R\): \[P = I^2 R = \left(\frac{r_1\mathcal{E}_2 + r_2\mathcal{E}_1}{r_1r_2 + R(r_1 + r_2)}\right)^2 R = \left(\frac{\dfrac{r_1\mathcal{E}_2 + r_2\mathcal{E}_1}{r_1 + r_2}} {\dfrac{r_1r_2}{r_1 + r_2} + R}\right)^2 R.\] Воспользуемся аналогией с задачей для одиночного источника. Известно, что максимум мощности соответствует равенству внешнего сопротивления эффективному внутреннему сопротивлению системы: \[R^* = \frac{r_1r_2}{r_1 + r_2}.\] Так как значение \(R^*\) попадает в диапазон \([R_{\min}; R_{\max}]\), максимальная мощность действительно достигается в этом интервале.

Подставим найденное условие в формулу мощности: \[P_{\max} = \frac{(r_1\mathcal{E}_2 + r_2\mathcal{E}_1)^2}{4r_1r_2(r_1 + r_2)}.\] Ответ: \(8\) Вт.