Канат и петля в трубе
6/10Горизонтальную гладкую трубу изогнули, сделав в ней кольцевую петлю радиуса \(R\), расположенную в вертикальной плоскости. В трубу на её горизонтальном участке со скоростью \(v\) пустили канат длиной \(7R\) (см. рис.). При какой минимальной скорости \(v\) канат сможет преодолеть петлю? Трение отсутствует, радиус петли много больше радиуса самой трубы и каната.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаКанат пройдёт петлю, если при полностью заполненной петле он ещё движется. Где находится центр тяжести части каната, заполняющей петлю?
Ответ\(v = \sqrt{\dfrac{4\pi gR}{7}}\).
РешениеКанат сможет пройти петлю, если при её полном заполнении он ещё имеет ненулевую (сколь угодно малую) скорость. Минимальная скорость каната соответствует случаю, когда при полностью заполненной петле канат имеет нулевую скорость. Центр тяжести каната, полностью заполняющего петлю радиуса \(R\), находится в центре петли, т.е. на высоте \(R\) над трубой. По закону сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} = m_1 gR,\] где \(m_1\) — масса части каната, полностью заполняющей петлю. Канат однороден, поэтому \[m_1 = \frac{2\pi R}{l}\,m = \frac{2\pi}{7}\,m, \qquad l = 7R.\] Отсюда \[v = \sqrt{\frac{4\pi gR}{7}}.\]
Похожие задачи
- Монета на подвижных горках Физтех 2007/08, 11 кл.
- Спуск по желобу ВсОШ 2010/11, 9 кл.
- Нелинейная пружина МОШ 2011/12, 10 кл.
- Пружина и шарик ВсОШ 2011/12, 9 кл.
- Брусок на доске у упора Физтех 2012/13, 11 кл.
- Набор высоты самолётом МОШ 2013/14, 9 кл.