Верёвка на разной высоте

Соедините точки А и В гладкой наклонной плоскостью и замкните верёвку: её равновесие не изменится. Какая часть верёвки лежит на плоскости и что её удерживает?

Соединим точки А и В гладкой наклонной плоскостью и замкнём верёвку, так что часть длиной, равной длине плоскости, лежит на ней. Такая верёвка будет в равновесии (иначе был бы вечный двигатель). Висящая между А и В часть верёвки тоже находится в равновесии, и её положение не изменилось: если закрепить концы в точках А и В и отрезать часть, лежащую на плоскости, получим исходную верёвку.

Силы натяжения в точках А и В уравновешивают висящую часть, а разность этих сил уравновешивает часть верёвки на плоскости: \[m_1 g\sin\alpha = T_B - T_A,\] где \(m_1\) — масса части верёвки на плоскости. Так как верёвка однородна, \(m_1 = \dfrac{L}{l}\,m\), где \(L\) — длина наклонной плоскости. Синус угла наклона \(\sin\alpha = \dfrac{h}{L}\). В результате \[T_B = T_A + \frac{mgh}{l}.\]