Тело на нити в полусферической чаше

Все точки траектории находятся на поверхности сферы и на расстоянии \(R/2\) от точки края чаши. Что это за линия и в какой плоскости она лежит?

Введём систему координат с началом в центре сферы и осью \(x\), направленной к точке закрепления нити (рис.). Все точки траектории лежат на сфере, поэтому \[x^2 + y^2 + z^2 = R^2.\] Все они находятся на расстоянии \(R/2\) от точки \((R,\,0,\,0)\): \[(x - R)^2 + y^2 + z^2 = \frac{R^2}{4}.\] Вычитая равенства, получаем \(x = \dfrac{7R}{8}\). Значит, координата \(x\) тела не меняется: тело движется в плоскости, перпендикулярной оси \(x\), на расстоянии \(\dfrac{7R}{8}\) от центра, т.е. по окружности радиуса \[r = \sqrt{R^2 - \left(\frac{7R}{8}\right)^2} = \frac{\sqrt{15}}{8}R.\]

Скорость тела в нижней точке найдём из закона сохранения энергии: \[\frac{mv^2}{2} = mg\,\frac{\sqrt{15}}{8}R, \qquad v = \frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{15}\,gR}.\] Тело движется по окружности, поэтому в нижней точке его ускорение центростремительное: \[a = \frac{v^2}{r} = 2g.\]