Тепловое расширение

IEPhO 2024/25, 8 кл.

4/10

В данной задаче не требуется оценка погрешностей.

При изменении температуры тела изменяют свои геометрические размеры. Для жидкостей вводят величину, характеризующую этот эффект — коэффициент объёмного теплового расширения. Эта величина равна отношению относительного изменения объёма жидкости \(\frac{\Delta V}{V_0}\) к изменению её температуры \(\Delta T\):

\[\beta=\frac{\Delta V}{V_0\; \Delta T}, \qquad(1) \tag{1}\]где \(V_0\) – объём жидкости при конкретной температуре. Иногда коэффициент объёмного теплового расширения также вводят для того, чтобы оценить изменение вместимости различных ёмкостей при их нагревании или охлаждении (тогда \(V\) – объём ёмкости).

Задание

Теоретическая часть

Коэффициент объёмного теплового расширения любого вещества можно вычислить, используя таблицу плотностей этого вещества при разных температурах.

1. Получите формулу, позволяющую вычислить коэффициент \(\beta\), используя значения плотности \(\rho_1\) и \(\rho_2\) жидкости, взятые для двух разных температур \(T_1\) и \(T_2\).

Используя таблицу плотностей, приложенную к условиям задачи, вычислите коэффициент теплового расширения \(\beta_{теор}\) воды температуры \(T_1=22\;^{\circ}\text{C}\) при нагревании до температуры \(T_2=50\;^{\circ}\text{C}\).

Ответ дайте в формате \(\beta = x\cdot 10^{-4} \;\dfrac{1}{^\circ \text{С}}\), где \(x\) — число, округлённое до тысячных.

Экспериментальная часть

2. Проведите необходимые измерения и определите внутренний диаметр \(d\) гибкого капилляра.

3. Медленно наберите в большой шприц \(20~мл\) воды. Следите за тем, чтобы в дальнейшем в шприце не было пузырьков воздуха. Подключите к шприцу гибкий капилляр. Выдавите из шприца в капилляр небольшое количество воды, чтобы длина получившегося столба воды составляла примерно \(¾\) длины капилляра. Поместите шприц в мерный цилиндр с водой комнатной температуры и дождитесь теплового равновесия между водой в цилиндре и в шприце. Шприц должен быть полностью погружен в воду носиком вверх, капилляр выходит из цилиндра наружу и свисает по стенке цилиндра свободным концом вниз. Сделайте на капилляре отметку, соответствующую концу столба воды.

Далее налейте во второй пустой мерный цилиндр горячую воду (температура воды должна быть не менее \(55\;^{\circ}\text{C}\) и не более \(75\;^{\circ}\text{C}\)). Переместите шприц с капилляром в горячую воду и пронаблюдайте, как будет меняться длина столба воды в капилляре со временем. Опишите свои наблюдения и объясните физику процесса.

4. Снова поместите шприц в мерный цилиндр с водой комнатной температуры и дождитесь теплового равновесия. Измерьте температуру воды \(T_1\). Сделайте на капилляре отметку, соответствующую концу столба воды (старые отметки рекомендуем стереть). Обновите горячую воду во втором цилиндре (температура воды должна быть не менее \(55\;^{\circ}\text{C}\) и не более \(75\;^{\circ}\text{C}\)). Переместите шприц с капилляром в горячую воду и дождитесь установления теплового равновесия. Запишите значение установившейся температуры \(T_2\) и сделайте на капилляре новую отметку, соответствующую положению конца водяного столба в капилляре. Измерьте длину \(l\) капилляра между отметками. Запишите объём воды \(V\) в шприце.

5. Используя формулу расчёта коэффициента объёмного теплового расширения, полученную в теоретической части задачи, а также табличные значения плотности воды \(\rho\), рассчитайте коэффициент \(\beta_{в}\) теплового расширения воды для температуры \(T_1\) при нагревании до температуры \(T_2\).

6. Используя данные, полученные в пунктах \(4\) и \(5\), рассчитайте коэффициент объёмного теплового расширения шприца \(\beta_{ш}\). Считайте, что этот коэффициент теплового расширения не зависит от температуры.

7. Вылейте воду из капилляра и шприца. Наполните большой шприц глицерином. Выдавите из шприца в капилляр небольшое количество глицерина, чтобы длина получившегося столба жидкости составляла примерно \(1/2\) длины капилляра.

8. Повторите эксперимент по изучению теплового расширения жидкости, описанный в пункте \(5\), для глицерина. Шприц с глицерином в горячую воду опускайте медленно!

Рассчитайте коэффициент объёмного теплового расширения глицерина \(\beta_{г}\). Считайте, что этот коэффициент теплового расширения не зависит от температуры.

9. Повторите опыты по определению коэффициентов объёмного теплового расширения шприца и глицерина ещё раз. Получите новые значения \(\beta_{ш}\) и \(\beta_{г}\). Посчитайте средние значения соответствующих коэффициентов, полученных в опытах.

Оборудование:

Вода в мерном цилиндре
Пустой мерный цилиндр
Глицерин (\(\simeq50~мл\)) в мерном стакане
Горячая вода (по требованию)
Гибкий капилляр
Шприц \(1~мл\)
Большой шприц (\(20~мл\))
Адаптер для подключения капилляра к шприцу
Линейка \(50~см\)
Термометр
Зажим «крокодил»
Стакан для отходов
Салфетки для поддержания рабочего места в чистоте

Внимание! Глицерин повторно выдаваться не будет. Тщательно продумывайте свои эксперименты.

\(t,~^{\circ}\text{C}\)	\(\rho,~кг \cdot м^{-3}\)
0.0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	\(\Delta\rho^*\)
0	999.839	999.846	999.852	999.859	999.865	999.871	999.877	999.882	999.888	999.893	0.0044
1	999.898	999.903	999.908	999.913	999.917	999.921	999.925	999.929	999.933	999.936	0.0043
2	999.940	999.943	999.946	999.949	999.952	999.954	999.956	999.959	999.961	999.962	0.0042
3	999.964	999.966	999.967	999.968	999.969	999.970	999.971	999.971	999.972	999.972	0.0041
4	999.972	999.972	999.972	999.971	999.971	999.970	999.969	999.968	999.967	999.965	0.0040
5	999.964	999.962	999.960	999.958	999.956	999.954	999.951	999.949	999.946	999.943	0.0041
6	999.940	999.937	999.934	999.930	999.926	999.923	999.919	999.915	999.910	999.906	0.0041
7	999.901	999.897	999.892	999.887	999.882	999.877	999.871	999.866	999.860	999.854	0.0041
8	999.848	999.842	999.836	999.829	999.823	999.816	999.809	999.802	999.795	999.788	0.0042
9	999.781	999.773	999.765	999.758	999.750	999.742	999.734	999.725	999.717	999.708	0.0042
10	999.699	999.691	999.682	999.672	999.663	999.654	999.644	999.635	999.625	999.615	0.0042
11	999.605	999.595	999.584	999.574	999.563	999.553	999.542	999.531	999.520	999.509	0.0043
12	999.497 999.486 999.474 999.462 999.451 999.439 999.426 999.414 999.402 999.389										0.0043
13	999.377 999.364 999.351 999.338 999.325 999.312 999.299 999.285 999.272 999.258										0.0043
14	999.244 999.230 999.216 999.202 999.188 999.173 999.159 999.144 999.129 999.114										0.0043
15	999.099 999.084 999.069 999.054 999.038 999.022 999.007 998.991 998.975 998.958										0.0043
16	998.943 998.926 998.910 998.894 998.877 998.860 998.843 998.826 998.809 998.792										0.0043
17	998.775 998.757 998.740 998.722 998.704 998.686 998.668 998.650 998.632 998.614										0.0043
18	998.595 998.577 998.558 998.539 998.520 998.502 998.482 998.463 998.444 998.425										0.0043
19	998.405 998.385 998.366 998.346 998.326 998.306 998.286 998.265 998.245 998.224										0.0043
20	998.204 998.183 998.162 998.141 998.120 998.099 998.078 998.057 998.035 998.014										0.0043
21	997.992 997.971 997.949 997.927 997.905 997.883 997.860 997.838 997.816 997.793										0.0043
22	997.770 997.747 997.725 997.702 997.679 997.656 997.632 997.609 997.585 997.562										0.0043
23	997.538 997.515 997.491 997.467 997.443 997.419 997.394 997.370 997.345 997.321										0.0043
24	997.296 997.272 997.247 997.222 997.197 997.172 997.146 997.121 997.096 997.070										0.0043
25	997.045 997.019 996.993 996.967 996.941 996.915 996.889 996.863 996.836 996.810										0.0043
26	996.783 996.757 996.730 996.703 996.676 996.649 996.622 996.595 996.568 996.540										0.0043
27	996.513	996.485	996.458	996.430	996.402	996.374	996.346	996.318	996.290	996.262	0.0043
28	996.233	996.205	996.176	996.148	996.119	996.090	996.061	996.032	996.003	995.974	0.0043
29	995.945	995.915	995.886	995.856	995.827	995.797	995.767	995.737	995.707	995.677	0.0043
30	995.647	995.617	995.586	995.556	995.526	995.495	995.464	995.433	995.403	995.372	0.0043
31	995.341	995.310	995.278	995.247	995.216	995.184	995.153	995.121	995.090	995.058	0.0043
32	995.026	994.997	994.962	994.930	994.898	994.865	994.833	994.801	994.768	994.735	0.0043
33	994.703	994.670	994.637	994.604	994.571	994.538	994.505	994.472	994.438	994.405	0.0043
34	994.371	994.338	994.304	994.270	994.236	994.202	994.168	994.134	994.100	994.066	0.0043

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

1: \[\beta = 3.518\cdot 10^{-4} ~\frac{1}{{}^\circ \mathrm{C}}\]; 2: \[d=\sqrt{\dfrac{4v}{\pi h}} = (0.97\pm0.04) \ мм\]; 6: Среднее значение коэффициента теплового расширения шприца: \[\left< \beta_{ш} \right> = 4.08\cdot 10^{-4} \;\frac{1}{^\circ С}\]; 8: \[\beta_{г} = \beta_{ш} + \dfrac{S\Delta l}{V_0 (T_2-T_1)}\]

Решение

1. Вновь запишем определение коэффициента \(\beta\): \[\beta=\frac{\Delta V}{V_0\; \Delta T}.\] Выразим объём как отношение массы к плотности: \[\beta=\dfrac{\dfrac{m}{\rho_2}-\dfrac{m}{\rho_1}}{\dfrac{m}{\rho_1}(T_2-T_1)},\qquad(2) \tag{2}\] где \(\rho_1\) и \(\rho_2\) – плотности воды при температурах \(T_1\) и \(T_2\) соответственно. Сократим массу \(m\) и получим: \[\beta=\dfrac{\dfrac{1}{\rho_2}-\dfrac{1}{\rho_1}}{\dfrac{1}{\rho_1}(T_2-T_1)} = \dfrac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_2 (T_2-T_1)}.\qquad(3) \tag{3}\] Вычислим коэффициент теплового расширения \(\beta_{теор}\) воды температуры \(T_1=22~{}^\circ\mathrm{C}\) при нагревании до температуры \(T_2=50~{}^\circ\mathrm{C}\). Для этого по таблице определим плотности для соответствующих температур: \[\rho_1 = 997.770 \ кг/м^3,\; \; \rho_2 = 988.037 \ кг/м^3.\] Подставим величины в формулу \((3)\) и получим значение \(\beta = 3.518\cdot 10^{-4} ~\frac{1}{{}^\circ \mathrm{C}}\)

Ответ:

\[\beta = 3.518\cdot 10^{-4} ~\frac{1}{{}^\circ \mathrm{C}}\]

2. Для измерения внутреннего диаметра капилляра наберём в миллилитровый шприц воду. С помощью адаптера подключим капилляр к шприцу. Наполним капилляр водой. Измерим по шкале шприца объём воды \(v\) в капилляре. Линейкой измерим длину столба \(h\) воды в капилляре.

При объёме \(v=(0.26\pm 0.02) \ мл\) и длине столба \(h = (35.0\pm0.1)\ см\) получим диаметр \[d=\sqrt{\dfrac{4v}{\pi h}} = (0.97\pm0.04) \ мм. \tag{4}\]

Ответ:

\[d=\sqrt{\dfrac{4v}{\pi h}} = (0.97\pm0.04) \ мм\]

3. Наберём в большой шприц \(20~мл\) воды. Подключим к шприцу гибкий капилляр. Выдавим из шприца в капилляр небольшое количество воды, чтобы длина получившегося столба воды составляла примерно \(3/4\) длины капилляра. Поместим шприц в мерный цилиндр с водой комнатной температуры и дождёмся теплового равновесия между водой в цилиндре и в шприце. Об установлении теплового равновесия свидетельствует неподвижность границы столба воды в капилляре. Шприц погружаем в воду носиком вверх, капилляр при этом должен выходить из цилиндра наружу и свисать по стенке цилиндра свободным концом вниз.

Сделаем на капилляре отметку, соответствующую концу столба воды.

Далее нальём во второй пустой мерный цилиндр горячую воду, опустим в неё шприц.

Видим, что вначале вода в капилляре быстро устремляется в шприц. Длина столба воды достигает минимального в опыте значения. После этого столб плавно увеличивается в длину.

Ответ:

Поведение зависимости длины столба воды в капилляре от времени объясняется двумя основными факторами. После того, как шприц опущен в воду, быстро начинают нагреваться стенки шприца. При нагревании объём шприца увеличивается, и вода из капилляра перетекает в шприц. С другой стороны, вода при нагревании расширяется, увеличивая свой объём. За счёт этого столб воды должен бы увеличиваться в длину. Два упомянутых явления действуют друг по отношению к другу «в противоположную сторону». При этом стенки шприца нагреваются быстрее воды в нем, поэтому сначала уровень воды в капилляре уменьшается, а потом увеличивается.

4. Используя уравнение \((1)\), запишем уравнение зависимости изменения объёма воды в системе, образованной шприцем и трубкой, от температуры: \[\Delta V = (\beta_{в} - \beta_{ш})V_0 \Delta T.\qquad(5) \tag{5}\] Изменение объёма воды в системе \(\Delta V\) определяется изменением длины \(l\) и площадью поперечного сечения \(S\) столба воды в капилляре: \[\Delta V = S \Delta l,\qquad(6) \tag{6}\] \[S= \dfrac{\pi d^2}{4}.\qquad(7) \tag{7}\]

5. Коэффициент \(\beta_{в}\) можно вычислить по формуле \((3)\). Таким образом, проведя изучение зависимости длины столба воды в капилляре от температуры, можно вычислить коэффициент объёмного теплового расширения шприца: \[\beta_{ш} = \beta_{в} - \dfrac{S\Delta l}{V_0 (T_2-T_1)}.\qquad(8) \tag{8}\] Результаты измерений и вычислений приведены в таблицах.

\(V_0,~см^3\)	\(T_1,^\circ\mathrm{C}\)	\(T_2,^\circ\mathrm{C}\)	\(\Delta l,~см\)	\(\Delta V,~мм^3\)	\(\beta_{в} - \beta_{ш},\; \cdot\frac{10^{-4}}{^\circ\mathrm{C}}\)	\(\beta_{в},\; \cdot\frac{10^{-4}}{^\circ\mathrm{C}}\)	\(\beta_{ш},\; \cdot\frac{10^{-4}}{^\circ\mathrm{C}}\)
20.0	22.6	44.8	-3.9	-29.0	-0.65	3.31	3.96
20.0	25.5	47.1	-3.5	-26.0	-0.60	3.53	4.13
20.0	24.3	54.3	-3.3	-24.5	-0.41	3.74	4.15

Использованные табличные значения плотностей, соответствующие температурам \(T_1\) и \(T_2\):

\(T_1,^\circ\mathrm{C}\)	\(T_2,^\circ\mathrm{C}\)	\(\rho_1, кг/м^3\)	\(\rho_2, кг/м^3\)
22.6	44.8	997.632	990.297
25.5	47.1	996.916	989.320
24.3	54.3	997.222	986.033

6. Ответ:

Среднее значение коэффициента теплового расширения шприца:

\[\left< \beta_{ш} \right> = 4.08\cdot 10^{-4} \;\frac{1}{^\circ С}\]

7. Далее проведём аналогичные опыты с глицерином. В этом случае: \[\Delta V = (\beta_{г} - \beta_{ш})V_0 \Delta \qquad(9) \tag{9}\]

8. Тогда

\[\beta_{г} = \beta_{ш} + \dfrac{S\Delta l}{V_0 (T_2-T_1)}.\qquad(10) \tag{10}\]Для расчёта \(\beta_{г}\) будем использовать среднее значение \(\left< \beta_{ш} \right>\).

Ответ:

\[\beta_{г} = \beta_{ш} + \dfrac{S\Delta l}{V_0 (T_2-T_1)}\]

9. Результаты измерений и вычислений приведены в таблице.

Ответ:

\(V_0,~см^3\)	\(T_1,^\circ\mathrm{C}\)	\(T_2,^\circ\mathrm{C}\)	\(\Delta l,~см\)	\(\Delta V,~мм^3\)	\(\beta_{г} - \beta_{ш},\; \cdot\frac{10^{-4}}{^\circ\mathrm{C}}\)	\(\beta_{г},\; \cdot\frac{10^{-4}}{^\circ\mathrm{C}}\)
20.0	22.5	50.8	18.1	0.13	2.38	6.46
19.5	26.4	49.8	13.6	0.10	2.21	6.29
19.5	23.8	46.0	13.0	0.10	2.23	6.31

Среднее значение коэффициента теплового расширения глицерина:

\[\left< \beta_{г} \right> = 6.35\cdot 10^{-4} \;\dfrac{1}{^\circ С}\]

Источник: pho.rs/p/4912.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Тепловое расширение

Тепловое расширение

Похожие задачи