Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Стрела прогиба

  1. Стрела прогиба

    IEPhO 2024/25, 8 кл.
    4/10

    В данной задаче не требуется оценка погрешностей.

    Представим жестко закрепленную с одного конца балку (рис. 1). Этот конец должен быть зафиксирован так, чтобы он был неподвижен, и при этом плоскость балки в креплении зафиксирована горизонтально. Пусть на противоположный незакрепленный конец балки к некоторой точке вертикально вверх приложена сила \(F\). Тогда балка изогнётся, и точка приложения силы сместится на некоторое расстояние \(h\). Оно будет зависеть от расстояния \(l\) между закрепленным концом и этой точкой в соответствии с законом:\[h=\alpha F^n l^k,\qquad(1)\]где \(\alpha\) — размерный коэффициент, \(k\) и \(n\) — целые числа. Будем считать, что вертикальное смещение конца балки под собственным весом мало по сравнению со смещением под действием приложенной силы.

    Рисунок

    Рис. 1. Изгиб балки под действием приложенной силы

    1. Выполнив необходимые измерения и построив график в таких координатах, в которых предполагаемая зависимость должна быть линейной, определите степень \(n\).

    2. Известно, что коэффициент \(k\) равен \(2\) или \(3\). Выполнив необходимые измерения и построив два графика в таких координатах, в которых предполагаемые зависимости должны быть линейными, определите степень \(k\).

    3. Определите коэффициент \(\alpha\).

    Ускорение свободного падения примите равным \(g=9.8~Н/кг\).

    Оборудование:

    1. Штатив с муфтой и лапкой

    2. Балка (пластиковая линейка \(30 \ см\))

    3. Электронные весы

    4. Две батарейки «крона»

    5. Деревянная линейка \(30 \ см\) для измерения размеров. Чтобы закрепить конец линейки в лапке, используйте одну из батареек «крон» (рис. 2)

    Рисунок

    Рис. 2. Крепление конца линейки в лапке с использованием батарейки

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1: \(n=1\);  2: \(k=3\)

    Решение

    1. Соберем установку, изображенную на рисунке 3. Для этого закрепим в лапке штатива линейку. Поставим на весы батарейку. Исходно расположим линейку горизонтально.

    Рисунок

    Рис. 3. Установка для измерения упругости балки

    В первом опыте установим весы с батарейкой так, чтобы батарейка располагалась ровно под свободным концом линейки длиной \(l_0=28 \ см\) и касалась его. Обнулим показания весов. Будем опускать лапку штатива на некоторое расстояние \(h\). Именно на это расстояние сместится конец линейки по вертикали (рис. 4).

    Рисунок

    Рис. 4. Настройка экспериментальной установки

    Показания весов \(m\) при этом изменятся. Значение силы можно будет рассчитать как: \[F=mg \qquad(2)\]

    Измерим зависимость показаний весов от расстояния \(h\) и построим график измеренной зависимости.

    \(h,~см\)0.30.50.70.81.01.21.41.61.82.1
    \(m,~г\)0.92.43.94.86.57.48.610.111.713.3
    Рисунок

    Видно, что график можно описать линейной функцией. Небольшое смещение может быть обусловлено неточностью в установке начальной позиции лапки штатива (позиции, отвечающей началу касания батарейки). Таким образом можно сделать вывод, что степень \(n=1\). Угловой коэффициент графика при этом составляет: \[\beta=\alpha g l^k=0.145 \ см/г=1.45~м/кг.\qquad(3)\]

    Ответ:

    \(n=1\)

    2. Проведем второй опыт.

    Вновь установим лапку в положение, когда плоскость линейки во всех ее точках едва касается батарейки, стоящей на весах. Сместим лапку штатива вниз на небольшое расстояние – около \(3~мм\). Будем перемещать весы с батарейкой ближе к лапке штатива вдоль линейки и измерим зависимость показаний весов от расстояния между крайней точкой зажатия линейки и местом касания линейки и батарейки. Занесем данные в таблицу.

    \(l,~м\)\(l^{-2},~м^{-2}\)\(l^{-3},~м^{-3}\)\(m,~г\)
    0.2912415.80
    0.2813466.61
    0.2714517.71
    0.2615578.85
    0.25166410.3
    0.24177212.5
    0.23198214.17
    0.22219416.63
    0.212310819.85
    0.202512523.55
    0.192814627.70
    0.183117132.50
    0.173520438.00
    0.163924446.16
    0.154429658.20

    Заметим, что показания весов увеличиваются с уменьшением расстояния \(l\), то есть зависимость является обратной. Для поиска степени рассчитаем значения длин \(l\) в степенях \(2\) и \(3\). Построим графики зависимости показаний весов \(m\) от расчетных значений \(l^{-k}\).

    Рисунок
    Рисунок

    Видно, что график \(m(l^{-3})\) наиболее близок к прямой пропорциональности. Следовательно, будем считать степень зависимости прогиба линейки от ее длины равной \(k=3\).

    Ответ:

    \(k=3\)

    3. Окончательно, рассчитаем коэффициент \(\alpha\):

    \[\alpha=\frac{\beta }{g l_0^3}=6.7~\frac{1}{Н\cdot м^2}.\qquad(4)\]

    Ответ:

    \[\alpha=6.7~\frac{1}{Н\cdot м^2}\]

    Источник: pho.rs/p/4907.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх