Белка и орех

Скорость ореха в момент встречи найдите из его движения. Белка ловит орех в горизонтальном и вертикальном направлениях отдельно: импульс сохраняется по каждой оси. Дальше — полёт системы «белка с орехом» из точки на высоте \(H\).

\(L=\dfrac{Mu}{(m+M)\,g\,\bigl(\pm V_y+\sqrt{V_y^2+2gH}\bigr)}\), где \(V_y=\dfrac{m\sqrt{v^2-2gH}}{m+M}\); знак «\(+\)» — орех ловят при подъёме, «\(-\)» — при спуске.

Уравнение движения ореха \(H=vt-\dfrac{gt^2}{2}\) даёт время его полёта до встречи и скорость в ней: \(v_y=v-gt=\pm\sqrt{v^2-2gH}\). Знак \(\pm\) объясняется тем, что белка может поймать орех в двух случаях: когда он летит вверх или когда летит вниз.

Закон сохранения импульса в проекциях на оси: по вертикали \(mv_y=(m+M)V_y\), по горизонтали \(Mu=(m+M)V_x\). Отсюда \(V_x=\dfrac{Mu}{m+M}\) и \(V_y=\dfrac{m\sqrt{v^2-2gH}}{m+M}\) (с учётом знака \(v_y\)).

Время полёта системы \(\tau\) из уравнения \(0=H\pm V_y\tau-\dfrac{g\tau^2}{2}\) с учётом того, что время не может быть отрицательным, равно \(\tau=\dfrac{\pm V_y+\sqrt{V_y^2+2gH}}{g}\). Дальность \(L=V_x\tau\) даёт ответ выше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.