Спутник из двух шаров

Центр масс спутника движется по круговой орбите, а каждый шар — нет: на расстоянии \(R\pm r\) от планеты гравитация отличается. Найдите дополнительную (приливную) силу, которая оттягивает шар от центра, и сравните её с силой притяжения шаров друг к другу.

\(R_{\min}=r\sqrt[3]{\dfrac{12M}{m}}\).

Круговая частота центра масс спутника находится из \(\dfrac{2GmM}{R^2}=2m\omega^2R\), откуда \(\omega^2=\dfrac{GM}{R^3}\). Центры масс шаров движутся на расстояниях \(R\pm r\) от планеты и не на круговой орбите, у них появляется эффективное радиальное ускорение \(a(d)=\omega^2d-\dfrac{GM}{d^2}\). На расстоянии \(R+x\) при \(x\ll R\) с помощью приближения из примечания получаем \(a\approx\dfrac{3GM}{R^3}x\). Значит, на каждый шар действует дополнительная сила \[F_a(R\pm r)=\pm\dfrac{3GMm}{R^3}\,r.\] Если эта сила станет больше взаимного притяжения шаров \(\dfrac{Gm^2}{(2r)^2}\), система развалится. В предельном случае \[\dfrac{Gm^2}{4r^2}=\dfrac{3GMm}{R^3}\,r\quad\Rightarrow\quad R_{\min}=r\sqrt[3]{\dfrac{12M}{m}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.