Шар с иглой на дне Байкала

Для силы отрыва выгоднее рассмотреть не шар, а усечённый шар: силу давления воды на его поверхность найдите через силу Архимеда и разность давлений снизу и сверху. Для работы запишите закон сохранения энергии с учётом вытесненной воды.

1) \(F\approx4{,}38\cdot10^5\) Н;  2) \(A\approx2{,}34\cdot10^4\) Дж.

1) Шар вложен в лунку вплотную, подтекания воды под него нет. Сила отрыва \(F=F_д+mg\), где \(F_д\) — сила давления воды на поверхность шара вне лунки. Найдём силу Архимеда, которая действовала бы на усечённый шар, как разность сил давления на верхнюю и нижнюю поверхности: \[F_a=\rho g\Bigl(\tfrac43\pi R^3-\tfrac{\pi h^2}{3}(3R-h)\Bigr)=\rho gH\pi r^2-F_д.\]

По теореме Пифагора \(r^2=R^2-(R-h)^2=2Rh-h^2\). Откуда \[F_д=\rho g\pi\Bigl(H(2Rh-h^2)-\tfrac43R^3+\tfrac{h^2(3R-h)}{3}\Bigr),\] и \(F=mg+F_д\approx4{,}38\cdot10^5\) Н.

2) Примем уровень дна за нулевую высоту и запишем закон сохранения энергии: \[A+mg(R-h)+m_вgH=mg(R+H)+m_вg(R-h),\] где \(m_в=\dfrac{4}{3}\pi R^3\rho\) — масса воды, вытесненной шаром, которая при подъёме шара опускается с поверхности на дно. Тогда \(A=g(H+h-R)\left(m-\dfrac{4}{3}\pi\rho R^3\right)\approx2{,}34\cdot10^4\) Дж.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.