Батарея из маленьких конденсаторов

Прежде всего, понятно, что максимально возможная ёмкость будет у батареи тогда, когда все маленькие конденсаторы будут соединены параллельно. Вопрос состоит только в том, как проводить процедуру зарядки и соединения маленьких конденсаторов.

Можно, например, сначала соединить все маленькие конденсаторы параллельно, а затем присоединить получившуюся батарею параллельно к большому конденсатору. В этом случае разность потенциалов между обкладками конденсаторов после соединения будет равна: \[\Delta\varphi = \dfrac{Q}{C + N\cdot(C/N)} = \dfrac{Q}{2C},\] а заряд, который приобретёт батарея, будет равен \(q' = Q/2\). Здесь учтено, что ёмкость маленького конденсатора в \(N = 1000\) раз меньше ёмкости большого конденсатора: \(C_1 = C/N\). Таким образом, при этом способе зарядки заряд большого конденсатора просто делится пополам.

Однако, можно сначала заряжать маленькие конденсаторы, а потом собирать из них батарею. Ясно, что заряжать конденсаторы нужно так, чтобы заряд каждого был по возможности максимальным. Поэтому бессмысленно подсоединять к большому конденсатору несколько параллельно соединённых маленьких конденсаторов — выгоднее сначала подсоединить их по отдельности, а потом уже соединить их параллельно. Также очевидно, что невыгодно подсоединять к большому конденсатору несколько последовательно соединённых маленьких конденсаторов — ведь снимаемый с большого конденсатора заряд пропорционален ёмкости, а при последовательном соединении конденсаторов ёмкость батареи получается меньше, чем исходная ёмкость любого из составляющих её элементов. Значит, самый выгодный способ создания батареи — по очереди подсоединять к большому конденсатору все маленькие конденсаторы, а уже затем собрать из них батарею.

Найдём разность потенциалов \(\Delta\varphi^{(1)}\) между обкладками большого конденсатора и его заряд \(Q^{(1)}\) после того, как к нему будет подсоединён первый маленький незаряженный конденсатор: \[\Delta\varphi^{(1)} = \dfrac{Q}{C + (C/N)},\qquad Q^{(1)} = C\Delta\varphi^{(1)} = \dfrac{Q}{1 + (1/N)}.\] Аналогично, заряд большого конденсатора после подключения к нему второго маленького незаряженного конденсатора: \[Q^{(2)} = C\Delta\varphi^{(2)} = \dfrac{Q^{(1)}}{1 + (1/N)} = \dfrac{Q}{(1 + (1/N))^2}.\] Продолжая эту процедуру далее, получим, что после подключения \(N\)-го маленького незаряженного конденсатора большой конденсатор будет иметь заряд: \[Q^{(N)} = \dfrac{Q}{(1 + (1/N))^N}.\] Заметим, что поскольку \(N\) достаточно велико, то справедливо следующее приближённое равенство: \(\left(1 + \dfrac{1}{1000}\right)^{1000} \approx e \approx 2{,}72\), где число \(e\) — основание натуральных логарифмов. Итак, после всех манипуляций на большом конденсаторе окажется заряд \(Q/e\), а на маленьких конденсаторах — суммарный заряд \[q = Q\left(1 - e^{-1}\right) \approx 0{,}63Q.\] Заметим, что заряд получившейся батареи больше, чем заряд, оставшийся на большом конденсаторе.