Шайба на плоскостях

Понятно, что начальная кинетическая энергия шайбы равна по величине работе, которую совершает сила трения от начала движения шайбы до её полной остановки: \(W = |A_{\text{тр}}|\). Так как по условию \(v > \sqrt{2\mu gL}\), то шайба в момент достижения наклонной плоскости будет иметь некоторую скорость и поэтому не остановится, а начнёт подниматься по плоскости вверх. С другой стороны, так как \(\operatorname{tg}\alpha > \mu\), то шайба, остановившись на наклонной плоскости, начнёт соскальзывать по ней обратно. Таким образом, шайба до полной остановки пройдёт расстояние \(L\), двигаясь от своего начального положения до наклонной плоскости, затем поднимется по наклонной плоскости на некоторую высоту \(h\), спустится с наклонной плоскости и, наконец, пройдёт расстояние \((L - l)\) от наклонной плоскости до своего конечного положения (см. рис. 1.164).

Поэтому \[W = \dfrac{mv^2}{2} = |A_{\text{тр}}| = \mu mgL + 2\mu mg\cos\alpha\cdot\dfrac{h}{\sin\alpha} + \mu mg(L - l).\] Высота \(h\) определяется из условия остановки шайбы: \[\dfrac{mv^2}{2} = \mu mgL + \mu mg\cos\alpha\cdot\dfrac{h}{\sin\alpha} + mgh,\] откуда \(h = \dfrac{(v^2/(2g)) - \mu L}{1 + \mu\operatorname{ctg}\alpha}\). Заметим, что так как \(v > \sqrt{2\mu gL}\), то \(h > 0\).

Подставляя выражение для \(h\) в предыдущее уравнение, сокращая на \(m\) и деля обе части на \(\mu g\), получаем: \[\dfrac{v^2}{2\mu g} = 2L - l + 2\operatorname{ctg}\alpha\cdot\dfrac{\dfrac{v^2}{2g} - \mu L}{1 + \mu\operatorname{ctg}\alpha}.\] Отсюда окончательно имеем: \[l = L\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{\mu + \operatorname{tg}\alpha} - \dfrac{v^2}{2\mu g}\cdot\dfrac{\operatorname{tg}\alpha - \mu}{\operatorname{tg}\alpha + \mu}.\]