Поездка на дачу

Средняя скорость с начала поездки равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени. Запишите это условие дважды, для двух моментов времени, и выразите пути через скорости и времена.

Обозначим \(S_1 = 10\) км, тогда время по городу \(t_1 = S_1/v_1 = 1/4\) ч. Путь по магистрали \(S_2 = v_2 t_2\). Средняя скорость в момент съезда с магистрали \(u_1 = (S_1 + S_2)/(t_1 + t_2)\). Отсюда \(S_1 + S_2 = v_1 t_1 + v_2 t_2 = u_1 (t_1 + t_2)\), и время движения по магистрали \[t_2 = \frac{u_1 - v_1}{v_2 - u_1}\, t_1 = 3t_1 = 45~\text{мин}.\] Путь по обычной дороге \(S_3 = v_3 t_3\). Средняя скорость в конце поездки \(u_2 = (S_1 + S_2 + S_3)/(t_1 + t_2 + t_3)\), откуда \[t_3 = \frac{v_1 + 3v_2 - 4u_2}{u_2 - v_3}\, t_1 = 2t_1 = 30~\text{мин}.\] Зная времена движения, находим расстояние от дома до дачи: \(v_1 t_1 + v_2 t_2 + v_3 t_3 = 135\) км.