Верёвка на столе

Рассмотрите равновесие поднятой части верёвки, а затем лежащей на столе части. Сила натяжения в точке перехода горизонтальна.

Условие равновесия участка верёвки, который не лежит на столе (BC; см. рисунок), имеет вид \[\frac{1}{4}m\vec g + \vec F + \vec T = 0,\] где \(\frac{1}{4}m\) — его масса, \(\vec T\) — сила натяжения верёвки в точке B, действующая на участок BC со стороны участка AB и направленная горизонтально (см. рисунок). В проекциях на горизонтальную и вертикальную оси это условие даёт \[F\cos\alpha = T, \qquad F\sin\alpha = \frac{1}{4}\,mg,\] где \(\alpha\) — угол между горизонтом и концом верёвки (см. рисунок).

Выражая из первого уравнения \(\cos\alpha\) и используя основное тригонометрическое тождество, получим из второго уравнения \[\sqrt{F^2 - T^2} = \frac{1}{4}\,mg \quad\Rightarrow\quad T = \sqrt{F^2 - \frac{1}{16}\,m^2g^2}.\] Поскольку такая же по величине сила \(T\) действует со стороны участка верёвки BC на лежащий на столе участок верёвки AB, условие равновесия участка AB даёт \[T \le F_{тр}^{\max} = \mu N = \frac{3}{4}\,\mu m g.\] Подставляя в эту формулу силу натяжения верёвки, получим \[\mu \ge \frac{1}{3}\sqrt{16\left(\frac{F}{mg}\right)^2 - 1}.\]