Ускорение в верхней точке при сопротивлении воздуха

В верхней точке сила сопротивления горизонтальна, поэтому ускорение определяется силой тяжести и силой сопротивления. Найдите, как горизонтальная скорость связана с пройденным расстоянием \(L\), и исследуйте зависимость от коэффициента сопротивления.

\(a_{\max}=\sqrt{g^2+\dfrac{v_0^4\cos^4\alpha}{16L^2}}\).

В верхней точке \(m\vec a=m\vec g+\vec F\), сила сопротивления перпендикулярна силе тяжести, следовательно \(a^2=g^2+\dfrac{F^2}{m^2}\). Чем больше отношение \(F/m\), тем больше ускорение.

Рассмотрим движение от момента броска до верхней точки: \(m\dfrac{\Delta\vec v}{\Delta t}=m\vec g-k\vec v\). По оси \(OX\): \(v_x\Delta t=\Delta x\ \to\ m\Delta v_x=-k\Delta x\). Суммируя по малым участкам, получаем \[m\bigl(v_x(T)-v_x(0)\bigr)=-kL,\] где \(T\) — время полёта до верхней точки; \(v_x(T)=v_x(0)-\dfrac{kL}{m}\).

Исследуем силу сопротивления в верхней точке: \(F=kv_x(T)=kv_x(0)-\dfrac{k^2L}{m}\). Найдя вершину параболы (по \(k\)), запишем \(k_{\text{в}}=\dfrac{m v_x(0)}{2L}\), \(F(k_{\text{в}})=\dfrac{m v_x^2(0)}{4L}\), откуда \[a=\sqrt{g^2+\dfrac{v_0^4\cos^4\alpha}{16L^2}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.