Сдвигаем длинный стержень

Стержень при сдвиге поворачивается вокруг некоторой точки. Силу выгодно приложить к краю перпендикулярно стержню; запишите равенство нулю суммы сил и суммы моментов.

\(F_{\min}=(\sqrt2-1)\,\mu Mg\approx0{,}41\,\mu Mg\).

Размерами тела пренебречь нельзя, поэтому необходимо учитывать вращение тела вокруг некоторой точки \(O\). Для минимизации силы \(F\) приложить её следует к краю стержня в направлении, перпендикулярном оси стержня.

Запишем условия равновесия: \(\sum\vec F=0\), \(\sum M=0\). Обозначим расстояние от одного края до точки \(O\) через \(X\), а от второго края до \(O\) через \(Y\), тогда \(X+Y=L\). Силы трения (приложенные к центрам масс отдельных кусков) пропорциональны доле длины стержня: \(F_{\text{тр}1}=\mu Mg\,X/L\), \(F_{\text{тр}2}=\mu Mg\,Y/L\).

Из первого условия: \(F+F_{\text{тр}2}=F_{\text{тр}1}\), то есть \(F=\mu Mg\,\dfrac{X-Y}{L}\).

Из второго: \(F X=F_{\text{тр}1}\dfrac{X}{2}+F_{\text{тр}2}\dfrac{Y}{2}\), то есть \(F X=\mu Mg\,\dfrac{X^2+Y^2}{2L}\).

Подставляя одно уравнение в другое, получаем \(2X^2-2XY=X^2+Y^2\), откуда \(2X^2=(X+Y)^2=L^2\) и \(X=\dfrac{L}{\sqrt2}\). Тогда \[F=\mu Mg\,\dfrac{X-Y}{L}=(\sqrt2-1)\,\mu Mg\approx0{,}41\,\mu Mg<\dfrac{\mu Mg}{2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.