Шарик на трубе и груз на нити

В момент отрыва сила реакции трубы равна нулю, а центростремительное ускорение шарика создаёт только сила тяжести. Затем запишите закон сохранения энергии для шарика и груза.

\(M=m\,\dfrac{3-2\cos\alpha}{2\alpha-1}\) (при \(\alpha>\tfrac12\)).

Изобразим систему в начальный момент и в момент отрыва шарика от трубы.

Из условия следует, что к моменту отрыва шарик успеет проскользить дугу, которая опирается на угол \(\alpha\). Нить нерастяжима, поэтому путь шарика вдоль трубы равен расстоянию, на которое опустится груз к тому же моменту времени: \[L=\alpha R,\qquad L=H_2-H_1.\] Из геометрии следует, что шарик к моменту отрыва сместится вверх по вертикали на расстояние \(h=R(1-\cos\alpha)\).

В момент отрыва на шарик действует сила притяжения Земли и сила натяжения нити. Центростремительное ускорение шарика направлено к центру трубы и определяется только силой тяжести. Сила натяжения нити направлена по касательной к трубе и никак не влияет на центростремительное ускорение. Запишем второй закон Ньютона для шарика в момент отрыва: \[\dfrac{mv^2}{R}=mg.\] Отсюда квадрат скорости шарика в момент отрыва: \(v^2=gR\).

Выберем уровень нуля потенциальной энергии через вершину трубы. Запишем закон сохранения энергии для шарика и груза: \[-mgh-MgH_1=-MgH_2+\dfrac{Mv^2}{2}+\dfrac{mv^2}{2}.\] Преобразуем: \(MgL=\dfrac{Mv^2}{2}+\dfrac{mv^2}{2}+mgh\).

Сила реакции опоры не совершает работы, так как она перпендикулярна скорости, а сила натяжения является внутренней силой системы, поэтому работа силы натяжения в записанном законе сохранения энергии также отсутствует. Равенство скоростей шарика и груза следует из нерастяжимости нити.

Подставим найденный квадрат скорости: \[MgL=\dfrac{MgR}{2}+\dfrac{mgR}{2}+mgh.\] Тогда \(2ML=MR+mR+2mh\), \(M(2L-R)=m(R+2h)\), \[M=m\,\dfrac{R+2h}{2L-R}=m\,\dfrac{R+2R(1-\cos\alpha)}{2\alpha R-R}=m\,\dfrac{3-2\cos\alpha}{2\alpha-1}.\]

Анализ ответа. Числитель дроби \(3-2\cos\alpha\) положителен для любого \(\alpha\). Знаменатель \(2\alpha-1\) должен быть положительным, так как масса положительна: \(\alpha>\tfrac12\). Если \(\alpha<\tfrac12\), то условие задачи не выполнится: шарик оторвётся от трубы не в верхней, а в некоторой другой точке. Равенство \(\alpha=\tfrac12\) приводит к бесконечной массе груза, что не является физически осмысленным решением.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.