Пробка перед светофором

Число остановок автомобиля на участке зависит от его скорости. Рассмотрите отдельно случаи, когда автомобиль проезжает участок без остановок, с одной, двумя или тремя остановками.

Найдём отношение скорости машины \(v\) к её средней скорости на рассматриваемом участке. При этом нужно рассмотреть скорости, при которых машины делают разное количество остановок на участке \(L\), поскольку при разном количестве остановок получаются разные отношения.

Первый случай. Скорости машин \(v > L/\Delta t\). Машина проезжает участок без остановки за время \(\Delta t_1 = L/v\), средняя скорость \(v_{\text{ср}} = v\), и отношение \(v/v_{\text{ср}} = 1\) никогда не равно \(1{,}7\).

Второй случай. Скорости машин лежат в интервале \(L/(2\Delta t) < v < L/\Delta t\). Машина делает ровно одну остановку на участке \(L\), и время прохождения участка складывается из одного интервала движения, одной остановки и времени прохождения остатка участка: \[\Delta t_2 = 2\Delta t + \frac{L - v\Delta t}{v} = \Delta t + \frac{L}{v}.\] Отсюда средняя скорость \(v_{\text{ср}} = \dfrac{L}{\Delta t_2}\) и \[\frac{v}{v_{\text{ср}}} = 1 + \frac{v\Delta t}{L}. \qquad (*)\] Это отношение линейно зависит от скорости машины; на границах интервала оно принимает значения \(2\) (при \(v = L/\Delta t\)) и \(1{,}5\) (при \(v = L/(2\Delta t)\)). Значение \(1{,}7\) попадает в этот интервал. Поэтому из формулы \((*)\) находим \[v = \frac{0{,}7L}{\Delta t} = 11{,}7~\text{м/с}.\]

Третий случай. Скорости машин лежат в интервале \(L/(3\Delta t) < v < L/(2\Delta t)\). Машина делает ровно две остановки, и время прохождения участка \[\Delta t_3 = 4\Delta t + \frac{L - 2v\Delta t}{v} = 2\Delta t + \frac{L}{v},\] откуда \(v_{\text{ср}} = L/\Delta t_3\) и \[\frac{v}{v_{\text{ср}}} = 1 + \frac{2v\Delta t}{L}.\] На границах интервала отношение принимает значения \(2\) (при \(v = L/(2\Delta t)\)) и \(1 + \tfrac{2}{3} \approx 1{,}66\) (при \(v = L/(3\Delta t)\)). Значение \(1{,}7\) попадает в этот интервал. Поэтому из формулы для отношения находим \[v = \frac{0{,}35L}{\Delta t} = 5{,}8~\text{м/с}.\]

Остальные случаи. При \(n\) остановках на участке отношение равно \(1 + n\,v\Delta t/L\) на интервале \(L/((n+1)\Delta t) < v < L/(n\Delta t)\), и его нижняя граница равна \(1 + n/(n+1)\). Для \(n \geq 3\) эта граница уже не меньше \(1{,}75\), так что значение \(1{,}7\) в интервал не попадает. Значит, условию удовлетворяют только найденные два значения скорости: \(v = 11{,}7\) м/с и \(v = 5{,}8\) м/с.

Итак, отношение скорости рассматриваемой машины к её средней скорости равно \(1{,}7\) при \(v = 0{,}7L/\Delta t = 11{,}7\) м/с и при \(v = 0{,}35L/\Delta t = 5{,}8\) м/с.