Кубик, погружаемый силой вниз

Запишите условие плавания кубика без внешней силы и при действии силы \(F\) и \(3F\). Отношение двух уравнений исключит \(\rho_0 g a^3\).

Пусть свободно плавающий кубик погружается в воду на глубину \(h\). Тогда условие равновесия кубика даёт \[\rho g a^3 = \rho_0 g a^2 h, \qquad (*)\] где \(\rho\) — плотность вещества кубика, \(a\) — длина его ребра. Отсюда находим отношение плотностей кубика и воды \[\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{h}{a}. \qquad (**)\] Когда на плавающий кубик действует «утапливающая» сила \(F\), условие равновесия даёт \[\rho g a^3 + F = \rho_0 g V_{\text{п.ч.}},\] где \(V_{\text{п.ч.}} = a^2(h + \Delta h)\) — объём погружённой части кубика, \(\Delta h\) — глубина «притопления» кубика силой \(F\) дополнительно к его погружению за счёт силы тяжести. Отсюда с учётом \((*)\) получаем \(F = \rho_0 g a^2 \Delta h\).

Поэтому для равновесных положений кубика, данных в задаче, имеем \[F = \rho_0 g a^2\Bigl(\frac{a}{2} - h\Bigr) = \rho_0 g a^3\Bigl(\frac{1}{2} - \frac{h}{a}\Bigr), \qquad 3F = \rho_0 g a^2 (a - h) = \rho_0 g a^3\Bigl(1 - \frac{h}{a}\Bigr). \qquad (***)\] Деля уравнения \((***)\) друг на друга, получаем \[\frac{2}{3} = \frac{1 - 2x}{1 - x}, \qquad x = \frac{h}{a}.\] Отсюда находим \(x = \dfrac{1}{4}\), а затем из формулы \((**)\) плотность кубика \[\rho = \frac{\rho_0}{4} = 250~\text{кг/м}^3.\]