Колесо на доске

Пока колесо движется относительно доски с проскальзыванием, на него со стороны доски действует сила трения, увеличивающая скорость поступательного движения колеса и уменьшающая угловую скорость его вращательного движения. Доска при этом разгоняется в противоположном направлении. Когда скорость доски сравняется со скоростью точки колеса, соприкасающейся с доской, колесо начнёт катиться по доске без проскальзывания, сила трения скольжения перестанет действовать в системе, и скорости тел изменяться перестанут, если пренебречь трением качения.

Обозначим через \(m\) массу колеса, совпадающую с массой доски, \(R\) — радиус колеса, \(u\) — скорость поступательного движения колеса, совпадающую по модулю и противоположную по направлению скорости доски, \(\omega\) — угловую скорость вращения колеса, \(\mu\) — коэффициент трения скольжения. Заметим, что \(A = m\omega_0^2R^2/2\), где \(\omega_0\) — начальная угловая скорость колеса.

Поскольку действующая между колесом и доской сила трения скольжения равна \(\mu mg\), а их массы одинаковы, уравнения поступательного движения для колеса и для доски запишутся также одинаковым образом: \(m\dfrac{\Delta u}{\Delta t} = \mu mg\), или \(\dfrac{\Delta u}{\Delta t} = \mu g\); следовательно, центр колеса и доска движутся с ускорениями, равными по величине \(\mu g\) и противоположными по направлению.

Для расчёта зависимости угловой скорости вращения колеса от времени заметим, что изменение \(\Delta E\) кинетической энергии системы за время \(\Delta t\), равное \[\Delta E = \Delta\left(\dfrac{mu^2}{2} + \dfrac{mu^2}{2} + \dfrac{m\omega^2R^2}{2}\right) = 2mu\Delta u + mR^2\omega\Delta\omega,\] совпадает с работой силы трения \(\Delta A_{\text{тр}}\) за этот промежуток времени. Данная работа отрицательна и равна по модулю произведению величины силы трения \(\mu mg\) на величину относительной скорости соприкасающихся участков тел \(\omega R - 2u\) и на промежуток времени \(\Delta t\), то есть \(\Delta A_{\text{тр}} = -\mu mg(\omega R - 2u)\Delta t\). Таким образом, справедливо уравнение: \[2mu\Delta u + mR^2\omega\Delta\omega = -\mu mg(\omega R - 2u)\Delta t,\] из которого, с учётом выражения для \(\Delta u/\Delta t\), получаем уравнение для угловой скорости колеса: \(\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t} = -\dfrac{\mu g}{R}\).

Из полученных выражений для линейных и угловых ускорений находим законы изменения скоростей поступательного и вращательного движения: \(u(t) = \mu gt\) и \(\omega(t) = \omega_0 - \mu gt/R\). Колесо начнёт двигаться без проскальзывания при условии обращения в нуль относительной скорости нижней точки колеса и доски: \(2u = \omega R\), откуда для момента времени, в который это произойдёт, получаем \(t_0 = \dfrac{\omega_0R}{3\mu g}\). В этот момент времени \(u = \omega_0R/3\) и \(\omega = 2\omega_0/3\), а кинетическая энергия системы равна \[E_0 = \dfrac{mu^2}{2} + \dfrac{mu^2}{2} + \dfrac{m\omega^2R^2}{2} = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{m\omega_0^2R^2}{2} = \dfrac{2}{3}A.\] Следовательно, за время \(t_0\) в системе выделится количество теплоты, равное \(Q = A/3\), если колесо к этому моменту ещё не успеет скатиться с доски.