Осколки снаряда

Из закона сохранения импульса следует, что начальные скорости осколков лежат в одной плоскости. Перейдём в систему отсчёта, падающую на землю с ускорением свободного падения \(g\). В этой системе отсчёта осколки после взрыва движутся в разные стороны равномерно и прямолинейно с одинаковыми скоростями, равными начальной скорости, приобретённой в результате взрыва. Следовательно, в рассматриваемой системе отсчёта все осколки после взрыва снаряда в любой момент времени располагаются на окружности с центром в точке взрыва.

Изобразим эту окружность на рисунке, обозначив угол между направлениями разлёта осколков \(m_1\) и \(m_2\) через \(\alpha\), а угол между направлениями разлёта осколков \(m_1\) и \(m_3\) через \((\pi - \beta)\). Рассмотрим положения осколков в момент времени, когда расстояние между осколками \(m_1\) и \(m_2\) оказалось равным \(L\). Тогда из рисунка следует, что \[L = 2R\sin\dfrac{\alpha}{2},\quad L_1 = 2R\sin\dfrac{\pi - \beta}{2} = 2R\cos\dfrac{\beta}{2},\] где \(R\) — радиус изображённой окружности, \(L_1\) — искомое расстояние.

Поскольку, как уже говорилось, импульс рассматриваемой системы в процессе разрыва снаряда на осколки сохраняется неизменным, то из теоремы косинусов, применённой к треугольнику, построенному из векторов импульсов осколков, следует: \[(m_3v)^2 = (m_1v)^2 + (m_2v)^2 - 2m_1m_2v^2\cos(\pi - \alpha),\] где \(v\) — начальная скорость осколков. Отсюда, с учётом заданных соотношений между \(m_1\), \(m_2\) и \(m_3\), находим: \(\cos\alpha = \dfrac{m_3^2 - m_1^2 - m_2^2}{2m_1m_2} = \dfrac{1}{4}\), то есть угол разлёта осколков \(m_1\) и \(m_2\) составляет \(\alpha \approx 75{,}5^\circ\). Из теоремы синусов, применённой к тому же треугольнику, получаем: \[\dfrac{m_2v}{\sin\beta} = \dfrac{m_3v}{\sin(\pi - \alpha)},\] откуда \(\sin\beta = \dfrac{m_2}{m_3}\sin\alpha = \dfrac{m_2}{m_3}\sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \dfrac{3\sqrt{15}}{16}\) и \(\cos\beta = \dfrac{11}{16}\). Используя тригонометрические формулы для половинного угла, найдём: \[\cos\dfrac{\beta}{2} = \sqrt{\dfrac{1}{2}(1 + \cos\beta)} = \dfrac{3}{4}\sqrt{\dfrac{3}{2}},\quad \cos\alpha = 1 - 2\sin^2\dfrac{\alpha}{2} = 1 - \dfrac{L^2}{2R^2} = \dfrac{1}{4},\] откуда \(R = \sqrt{2/3}\,L\). Подставляя эти выражения в формулу для \(L_1\), получим ответ: \(L_1 = (3/2)\,L\).