КПД цикла с лестницей

Поскольку тепловая машина совершает за цикл положительную работу, рассматриваемый цикл проходится по часовой стрелке, в направлении 1–2–3. Для расчёта КПД этой тепловой машины, равного отношению совершённой работы \(A\) к количеству теплоты \(Q_+\), полученному от нагревателей, обозначим через \(p_0\) и \(V_0\) минимальные давление и объём газа; тогда максимальные давление и объём будут равны \(kp_0\) и \(kV_0\). Заметим, что на горизонтальном участке ступеньки объём возрастает в \(k^{1/n}\) раз, а на вертикальном участке давление уменьшается в такое же число раз.

В данном цикле газ получает тепло на участке 1–2, а также на горизонтальных участках лестницы 2–3. Количество теплоты, полученное на участке 1–2, равно изменению внутренней энергии газа: \(Q_{12} = \dfrac{3}{2}kp_0V_0 - \dfrac{3}{2}p_0V_0 = \dfrac{3}{2}(k - 1)p_0V_0\). Далее, на \(i\)-м горизонтальном участке лестницы (\(i\) изменяется в пределах от 1 до \(n\)) газ расширяется от объёма \(V_0k^{(i-1)/n}\) до \(V_0k^{i/n}\) при постоянном давлении \(p_0k^{1-((i-1)/n)}\). При этом он совершает работу \(\Delta A = kp_0V_0(k^{1/n} - 1)\), изменяет свою внутреннюю энергию на \(\Delta U = 1{,}5\Delta A\) и получает количество теплоты \(\Delta Q = 2{,}5\Delta A\). На вертикальных участках «лестницы» газ не совершает работы и отдаёт тепло. На участке 3–1 газ отдаёт тепло и совершает отрицательную работу \(A_{31} = -(k - 1)p_0V_0\).

Следовательно, суммарное количество теплоты, полученное от нагревателей, равно \[Q_+ = Q_{12} + n\Delta Q = \dfrac{3}{2}(k - 1)p_0V_0 + \dfrac{5}{2}nk\left(k^{1/n} - 1\right)p_0V_0,\] а совершённая работа \[A = A_{31} + n\Delta A = -(k - 1)p_0V_0 + nk\left(k^{1/n} - 1\right)p_0V_0.\] Искомый КПД цикла равен \[\eta = \dfrac{A}{Q_+} = \dfrac{nk\left(k^{1/n} - 1\right) - (k - 1)}{\dfrac{3}{2}(k - 1) + \dfrac{5}{2}nk\left(k^{1/n} - 1\right)}.\]