Кольцо

Сопротивление всей проволоки не зависит от места разреза. Для половины кольца используйте среднее удельное сопротивление, а для точек \(M\), \(N\) — условие равенства сопротивлений дуг, на которые они делят кольцо.

1. Сопротивление всей проволоки \(R_0\) не зависит от точки разреза. Разрежем кольцо в точке \(A\) и найдём сопротивления \(R_0/2\) двух симметричных половинок. Используя среднее удельное сопротивление \(\rho_{ср} = \alpha\pi/2\), получаем \(R_0/2 = \rho_{ср}\pi r/S = \alpha\pi^2 r/(2S)\), откуда \[R_0 = \frac{\alpha\pi^2 \cdot 2r}{S}.\]

2. Подключим контакты к точкам \(M\) и \(N\). Цепь состоит из двух участков \(MAN\) и \(MBN\), соединённых параллельно: \[R_{MN} = \frac{R_{MAN}R_{MBN}}{R_{MAN}+R_{MBN}} = \frac{R_{MAN}(R_0 - R_{MAN})}{R_0}.\] Эта функция \(R_{MAN}\) имеет максимум при \(R_{MAN} = R_{MBN} = R_0/2\), и тогда \(R_{\max} = R_0/4 = \dfrac{\alpha\pi^2 r}{2S}\).

3. Чтобы расстояние между \(M\) и \(N\) было минимальным, на малую дугу между ними должна приходиться проволока с максимальным удельным сопротивлением. Поэтому точки \(M\) и \(N\) симметричны относительно точки \(B\). Пусть их положение определяется углом \(\varphi_0\). Сопротивление малой дуги \(BN\) равно \(R_0/4\): \[\frac{R_0}{4} = \frac{\alpha(\pi^2 - \varphi_0^2)r}{2S},\] откуда \(\pi^2 = 2(\pi^2 - \varphi_0^2)\) и \(\varphi_0 = \pi/\sqrt{2} \approx 127^\circ\). Расстояние \(L\) между \(M\) и \(N\) находится как основание равнобедренного треугольника \(MON\): центральный угол \(MON\) равен \(2\varphi_0\), поэтому \(L = 2r\sin\varphi_0 \approx 1{,}6\,r\).