Дамба на склоне

Опаснее всего полный уровень воды, когда она доходит до кромки дамбы: найдите силу давления на грань (давление растёт линейно с глубиной), разложите её вдоль склона и поперёк и запишите условие равновесия с предельной силой трения.

\(\mu_{\min}=\dfrac{\sqrt3(\rho+\rho_0)}{3\rho+\rho_0}\).

Примем, что длина дамбы равна \(L\), а длина стороны треугольника в её сечении — \(a\).

1) Масса дамбы \(m=\rho a^2L\sqrt3/4\).

2) Максимальная сила давления воды при условии, что вода доходит до кромки дамбы и давление линейно меняется от \(0\) до максимального значения \(P_{\max}=\rho_0ga/2\): \(F=aLP_{\max}/2=\rho_0ga^2L/4\).

3) Эта сила имеет составляющую вдоль склона \(F_\parallel=F\cos30^\circ=F\sqrt3/2\), поперёк склона \(F_\perp=F\sin30^\circ=F/2\).

4) Из условия равновесия дамбы по нормали к склону находится сила реакции опоры \(N=mg\cos30^\circ+F_\perp\).

5) Условие равновесия вдоль склона \(mg\sin30^\circ+F_\parallel=F_{\text{тр}}\) и неравенство для силы трения \(F_{\text{тр}}\le\mu N\) дают минимальное значение коэффициента трения \(mg\sin30^\circ+F_\parallel=\mu(mg\cos30^\circ+F_\perp)\).

Отсюда \(\mu_{\min}=\dfrac{\sqrt3(\rho+\rho_0)}{3\rho+\rho_0}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.