Два тела на стержне внутри сферы

Силы реакции гладкой сферы направлены по радиусам, поэтому момент силы тяжести системы относительно центра сферы равен нулю. Где тогда должен лежать центр тяжести системы?

Рассмотрим условие равновесия системы, состоящей из двух шариков и стержня. Сумма внешних сил, действующих на систему, и их моментов равна нулю относительно любой оси. Внешними для системы являются сила тяжести \(3mg\), приложенная к её центру тяжести, и две силы реакции, действующие на шарики перпендикулярно поверхности сферы, поскольку трения нет. А поскольку силы реакции действуют по прямым, проходящим через центр сферы, то из условия равенства нулю суммы моментов относительно центра сферы следует, что момент силы тяжести, действующей на систему, относительно центра сферы равен нулю. Это значит, что центр тяжести системы находится под центром сферы. А поскольку центр тяжести находится ближе к более массивному телу, то оно находится ближе к вертикальной прямой, проходящей через центр сферы. Поэтому тело с массой \(2m\) находится ниже, тело с массой \(m\) — выше (см. рисунок), а центр тяжести системы находится на одной вертикали с центром сферы.

Так как центр тяжести системы тел делит стержень в отношении \(2:1\), и длина стержня равна радиусу сферы, то \[AC = \frac{2}{3}R, \qquad CD = \frac{1}{3}R.\] Поскольку треугольник \(OAD\) равносторонний, то перпендикуляр, опущенный из его вершины \(O\) на противоположную сторону, делит её пополам, и потому \[BC = \frac{R}{2} - BD = \frac{R}{6},\] и \(\angle BOC = \angle ADE\) (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами), т.е. \(\angle BOC = \alpha\). Поэтому из треугольника \(OBC\) находим \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{BC}{OB} = \frac{R/6}{\sqrt{3}R/2} = \frac{\sqrt{3}}{9}, \qquad \alpha = \operatorname{arctg}\frac{\sqrt{3}}{9} = 10{,}9^\circ.\] Другие тригонометрические функции угла \(\alpha\): \[\cos\alpha = \frac{9}{2\sqrt{21}} = \frac{9\sqrt{21}}{42}, \qquad \sin\alpha = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14}.\]