Две перегородки из пенопласта

В равновесии поток тепла от горячей воды в полость равен потоку из полости в холодную воду. Для каждой перегородки закон Фурье дает поток через её толщину; коэффициент \(\lambda\) найдите по данным о тонкой перегородке.

В тепловом равновесии внутри полости установится такая температура \(t_x\), что поток тепла в полость от более горячей воды и поток тепла из полости в более холодную воду будут одинаковы. Потоки тепла находим по закону Фурье: \[\text{от горячей воды к полости: } q = \lambda\frac{\left(t_1 - t_x\right)S}{2\Delta x}, \qquad \text{от полости к холодной воде: } q = \lambda\frac{\left(t_x - t_2\right)S}{\Delta x},\] где \(S\) — площадь сечения трубы, \(\lambda\) — теплопроводность пенопласта, \(\Delta x\) и \(2\Delta x\) — толщины тонкой и толстой перегородок. Приравнивая эти два потока, получим \[t_1 - t_x = 2\left(t_x - t_2\right),\] откуда находим \[t_x = \frac{1}{3}\left(t_1 + 2t_2\right) = 33{,}3^\circ\text{C}.\] Чтобы такое равновесие поддерживать, в горячей воде нужно в единицу времени выделять такое количество теплоты, которое передаётся в полость (а из холодной воды это количество нужно удалять). Т.е. мощность тепловыделения равна \[P = \lambda\frac{\left(t_1 - t_x\right)S}{2\Delta x}.\] С другой стороны, условие задачи даёт информацию о коэффициенте теплопроводности, площади сечения и толщине перегородок. Если бы разность температур слева и справа от тонкой перегородки составляла \(\Delta t = 1^\circ\)C, то поток тепла равнялся бы \(q\). Поэтому из закона Фурье имеем \(q = \lambda\dfrac{\Delta t\,S}{\Delta x}\). Отсюда \[\lambda\frac{S}{\Delta x} = \frac{q}{\Delta t}.\] Подставляя эту формулу в мощность тепловыделения в горячей воде, получим \[P = q\,\frac{t_1 - t_2}{3\,\Delta t} = 0{,}23~\text{Вт}.\]