Кривошипно-кулисный механизм

Скорость точки кривошипа, попавшей в втулку, направлена вдоль кулисы, поэтому её проекция на кулису равна скорости точки кулисы. Ускорение раскладывается на составляющие вдоль скорости и перпендикулярно ей; дифференцируйте скорость по времени, учитывая поворот кулисы.

Поскольку точка \(A\) принадлежит кривошипу, её скорость в любой момент направлена перпендикулярно кривошипу (см. рисунок) и равна по величине \(v = \omega l\), а угол между этим вектором и стержнем в тот момент времени, когда угол между кривошипом и горизонтом равен \(\alpha\), равен \(\alpha/2\). Точка кривошипа, которая находится внутри втулки, может двигаться только вдоль втулки, т.е. вдоль стержня. Из условия нерастяжимости стержня (проекции скоростей всех его точек на сам стержень должны быть равны) получаем для скорости \(v_1\) точки стержня, которая находится внутри втулки, \[v_1 = v\cos\frac{\alpha}{2} = \omega l\cos\frac{\alpha}{2}.\]

С изменением угла поворота кривошипа \(OA\) величина этой скорости меняется, что приводит к появлению составляющей ускорения, параллельной скорости, \(a_\tau\). Величину этой составляющей найдём, дифференцируя \(v_1\) по времени: \[a_\tau = \frac{dv_1}{dt} = \frac{1}{2}\omega^2 l\sin\frac{\alpha}{2}.\] Кроме того, из-за поворота кулисы \(AC\) скорость точки кулисы, находящейся внутри втулки, меняется по направлению, что приводит к появлению составляющей ускорения, перпендикулярной скорости, \(a_n\). Чтобы найти величину этой составляющей, заметим, что угол между кулисой и горизонтальной прямой, проходящей через втулку, составляет \(90^\circ - \alpha/2\), и потому при повороте кривошипа за малое время \(\Delta t\) на угол \(\Delta\alpha\) изменяется на угол \(\Delta\alpha/2\). Поэтому изменение скорости, перпендикулярное самой скорости, в тот момент времени, когда угол между кривошипом и горизонталью равен \(\alpha\), за малое время \(\Delta t\) есть \[\Delta v_n = v_1\frac{\Delta\alpha}{2} = \frac{1}{2}\omega l\cos\frac{\alpha}{2}\,\Delta\alpha.\] Деля это выражение на \(\Delta t\) и учитывая, что \(\Delta\alpha/\Delta t = \omega\), найдём \[a_n = \frac{1}{2}\omega^2 l\cos\frac{\alpha}{2}.\] Из этих формул следует, что модуль вектора ускорения рассматриваемой точки кулисы не зависит от угла наклона кулисы, поскольку \[a = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = \frac{1}{2}\omega^2 l.\] А направлен вектор ускорения этой точки под таким углом \(\beta\) к кулисе, что \[\operatorname{tg}\beta = \frac{a_n}{a_\tau} = \operatorname{ctg}\frac{\alpha}{2}.\] При \(\omega = 1\) с\(^{-1}\), \(l = 1\) м получаем \(a = 0{,}5\) м/с\(^2\); при \(\alpha = 120^\circ\) угол \(\beta = 30^\circ\).