Бусинки на изогнутом стержне

Силы взаимодействия бусинок равны по модулю, а их проекции на стержни пропорциональны расстояниям до вершины. Значит, отношение ускорений равно отношению расстояний, и оно сохраняется во всё время движения.

Вторая бусинка окажется в вершине угла: обе бусинки доходят до вершины одновременно.

11-2. Пусть в некоторый момент одна бусинка находится на расстоянии \(x_{1}\) от угла, вторая – на расстоянии \(x_{2}\). Так как \(\left\vert \vec{F}_{1}\right\vert =\left\vert \vec{F}_{2}\right\vert\), то из второго закона Ньютона следует:

\[\left.\begin{array}{l} m_{1} a_{1}=F_{1} \cos \alpha_{1}=F_{1} \frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} \\ m_{2} a_{2}=F_{2} \cos \alpha_{2}=F_{2} \frac{x_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}} \end{array}\right\} \Rightarrow \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{x_{1}}{x_{2}},\]

то есть отношение ускорений равно отношению расстояний до вершины угла. За некоторый промежуток времени (малый) бусинки сместятся на \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) такие, что

\[\frac{\Delta x_1}{\Delta x_2} = \frac{x_1}{x_2} = \frac{1}{2},\tag{1}\]

и в новом положении соотношение

\[\frac{a'_1}{a'_2} = \frac{x_1 - \Delta x_1}{x_2 - \Delta x_2} = \frac{x_1}{x_2}\tag{2}\]

сохраняется.

Следовательно (вспомните гармонические колебания!), обе бусинки доберутся до угла одновременно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.