Две линзы и световое пятно

Часть лучей идёт через малую линзу, а часть — мимо неё, сразу в большую; получаются два изображения источника. Минимальный внешний диаметр пятна — там, где пересекаются крайние лучи этих двух пучков.

Экран нужно поставить примерно в \(41{,}5\) см за большой линзой; диаметр пятна \(\approx 2{,}5\) см.

11-5. После преломления лучей в малой линзе изображение источника оказывается между линзами на расстоянии:

\[\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{l}=\frac{1}{5}\right) l=\frac{20}{3} \text { см. }\]

А после преломления в большой линзе: \(L=140 \text{~см}\).

Из анализа чертежа видно, что малая линза не полностью заслоняет большую, а значит, часть лучей от источника сразу преломляется в большой линзе. Причем после подобного преломления изображение оказывается за большой линзой на расстоянии

\[\frac { 1 } { 5 0 } + \frac { 1 } { L _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 0 } \Rightarrow L _ { 1 } = \frac { 1 0 0 } { 3 } \text{см} \ .\]

Минимальный внешний радиус пятна достигается при положении экрана в точке \(A\). Пусть расстояние до плоскости \(A\) равно \(x\). Тогда

\[D \frac { x - \frac { 1 0 0 } { 3 } } { \frac { 1 0 0 } { 3 } } = d \frac { 3 0 - \frac { 2 0 } { 3 } } { \frac { 2 0 } { 3 } } \frac { 1 4 0 - x } { 1 4 0 } ,\]

где \(D\) и \(d\) — диаметры линз. Из подобных геометрических рассуждений определим и диаметр пятна

\[d _ { x } = D \frac { x - \frac { 1 0 0 } { 3 } } { \frac { 1 0 0 } { 3 } } = 2 { , } 4 5 \text{см} \, .\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.