Диск на двух поверхностях

Разбейте диск на тонкие кольца, а кольца — на дуги; воспользуйтесь симметрией, чтобы найти направление равнодействующей сил трения, и просуммируйте проекции.

\(a=g\,\dfrac{\mu_1-\mu_2}{\pi}\), ускорение направлено вдоль границы раздела.

10-1. Для корректного учета действия элементарных сил трения разделим диск (мысленно) на тонкие кольца и рассмотрим одно из них. В свою очередь рассечем кольцо на малые дуги и рассмотрим симметричную относительно оси \(OX\) пару \(\Delta l_{i}\) и \(\Delta l_{j}\). Сумма \(\vec{F}_{i} + \vec{F}_{j}\) сил трения, вследствие симметрии, параллельна оси \(OY\), что говорит о том, что равнодействующая всех сил трения также будет параллельна этой оси. Следовательно,

ускорение центра диска будет направлено вдоль границы раздела полуплоскостей вдоль оси \(OY\). Для определения его величины найдем сумму

\[\sum_{i} F_{i} \sin \alpha_{i} = \mu_{1} \rho g \sum_{i} \Delta l_{i} \sin \alpha_{i} = \mu_{1} \rho g 2 R_{k},\tag{1}\]

где \(\mu_{l}\) — соответствующий коэффициент трения, \(\rho = \frac{m_{k}}{2 \pi R_{k}}\) — линейная плотность рассматриваемого кольца, которая представляет собой сумму элементов кольца, принадлежащих левой полуплоскости. Для всего кольца

\[\sum_{i} F_{i} \sin \alpha_{i} = m_{k} g \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{\pi} = F^{k}.\tag{2}\]

Суммируя по всем кольцам

\[\sum_{k} F^{k} = m g \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{\pi},\tag{3}\]

где \(m\) — масса диска. Формула (3) дает выражение для равнодействующей всех сил трения, действующих на диск. Для ускорения имеем

\[a = g \frac{\mu_{1} - \mu_{2}}{\pi}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.