Максимальная скорость груза на пружине между стержнями

Закон сохранения импульса даёт связь скоростей грузов. Максимум скорости первого груза достигается, когда пружина становится недеформированной, поэтому удобно записать и закон сохранения энергии для этого момента.

Рассмотрим движение грузов в системе отсчёта, связанной со стержнями. Направим ось \(x\) вдоль вектора \(\vec V_0\). Так как грузы движутся без трения, их суммарный импульс сохраняется: \(m_1V_0 = m_1V_{1x} + m_2V_{2x}\), где \(V_{1x}\) и \(V_{2x}\) — проекции скоростей грузов на ось \(x\). Экстремумы \(V_{1x}\) достигаются в те моменты, когда ускорение груза 1 обращается в нуль, то есть когда проекция силы упругости на ось \(x\) равна нулю. Это возможно в двух случаях: (a) пружина перпендикулярна стержням (как в начальном положении); (b) пружина не деформирована.

(a) Сжатие пружины равно \(x_0\). Закон сохранения энергии: \(\dfrac{m_1V_0^2}{2} + \dfrac{kx_0^2}{2} = \dfrac{m_1V_{1x}^2}{2} + \dfrac{m_2V_{2x}^2}{2} + \dfrac{kx_0^2}{2}\), откуда \(m_1V_0^2 = m_1V_{1x}^2 + m_2V_{2x}^2\). Решение системы с законом сохранения импульса: \(V_{1x} = V_0 = 0{,}2\) м/с, \(V_{2x} = 0\) (восстановление начального положения) и \(V_{1x} = \dfrac{(m_1-m_2)V_0}{m_1+m_2} = -0{,}04\) м/с, \(V_{2x} = \dfrac{2m_1V_0}{m_1+m_2} = 0{,}16\) м/с.

(b) Пружина не деформирована. Закон сохранения энергии: \(\dfrac{m_1V_0^2}{2} + \dfrac{kx_0^2}{2} = \dfrac{m_1V_{1x}^2}{2} + \dfrac{m_2V_{2x}^2}{2}\). Подставляя \(V_{2x}\) из закона сохранения импульса, получаем квадратное уравнение относительно \(w = V_{1x}/V_0\): \((\alpha+1)w^2 - 2w + 1 - \alpha(\beta+1) = 0\), где \(\alpha = \dfrac{m_2}{m_1}\), \(\beta = \dfrac{kx_0^2}{m_1V_0^2}\). Его корни: \((V_{1x})_{1,2} = \dfrac{V_0}{\alpha+1}\left\{1 \pm \sqrt{\alpha[\alpha(\beta+1)+\beta]}\right\}\). При \(\alpha = 1{,}5\) и \(\beta = 6\) получаем \((V_{1x})_1 = 0{,}48\) м/с и \((V_{1x})_2 = -0{,}32\) м/с.

Первый корень соответствует моменту, когда пружина становится недеформированной: до этого момента она дополнительно разгоняет первый груз вправо. Второй корень соответствует моменту, когда удлинение пружины снова становится равным нулю.

Итого экстремальные значения проекции скорости первого груза: \(0{,}2\) м/с, \(-0{,}04\) м/с, \(0{,}48\) м/с, \(-0{,}32\) м/с. Максимальная скорость \(V_1 = 0{,}48\) м/с.