Брусок на пружине с трением

Введите новую координату, сдвинув начало отсчёта на величину, соответствующую силе трения. В новой координате движение бруска — гармоническое колебание.

Направим ось \(x\) вдоль вектора \(\vec V_0\) и выберем точку \(B\), в которой пружина прикреплена к бруску; координата \(x\) точки \(B\) равна сжатию пружины. Второй закон Ньютона в проекции на ось \(x\) при движении влево: \(ma_x = -kx - \mu mg = -k\left(x + \dfrac{\mu mg}{k}\right)\). Введём координату \(y = x + \dfrac{\mu mg}{k}\), которая отличается от \(x\) только сдвигом начала отсчёта. Тогда \(ma_y = -ky\), то есть брусок совершает гармонические колебания с круговой частотой \(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\): \(y = A\sin(\omega t + \alpha)\), где \(A > 0\) — амплитуда, \(\alpha\) — начальная фаза.

Начальные условия \(x(0) = 0\), \(V_x(0) = V_0\) дают \(A\sin\alpha = \dfrac{\mu g}{\omega^2}\), \(A\cos\alpha = \dfrac{V_0}{\omega}\), откуда \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\mu g}{\omega V_0}\). Скорость \(V_x(t) = A\omega\cos(\omega t + \alpha)\) обращается в нуль, когда \(\cos(\omega\tau + \alpha) = 0\), то есть \(\tau = \dfrac{1}{\omega}\left[\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right]\). Используя \(\operatorname{arctg}\dfrac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2} - \operatorname{arctg}x\) при \(x > 0\), получаем \(\tau = \dfrac{1}{\omega}\arctg\left(\dfrac{\omega V_0}{\mu g}\right) = 0{,}42\) с.