Цикл с двумя прямыми через начало координат

Выразите температуры через произведения \(PV\) в узловых точках, используя подобие треугольников для прямых, проходящих через начало координат. Работу цикла удобно считать как площадь трапеции.

Температура газа максимальна в точке 3, минимальна в точке 1: \(T_3 = xT_1\). Из уравнений состояния в точках 1–4 с учётом \(T_4 = T_2\) и подобия треугольников (\(P_1V_2 = P_2V_1\), \(P_1V_3 = P_2V_4\)) получаем \(T_2 = \sqrt{T_3T_1} = \sqrt{x}\,T_1\).

Работа газа за цикл равна площади трапеции 1234: \(A = \dfrac{(V_4 - V_1) + (V_3 - V_2)}{2}(P_2 - P_1) = \dfrac{\nu R T_1}{2}\left(\sqrt{x} - 1\right)^2\).

Газ получает тепло на участках 1–2 и 2–3. На участке 1–2 работа \(A_{12} = \dfrac{\nu R T_1}{2}\left(\sqrt{x}-1\right)\), поэтому \(Q_{12} = \nu C_VT_1\left(\sqrt{x}-1\right) + A_{12} = \nu\left(C_V + \dfrac{R}{2}\right)T_1\left(\sqrt{x}-1\right)\). На изобаре 2–3: \(Q_{23} = \nu C_P(T_3 - T_2) = \nu C_PT_1\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\).

Полное тепло \(Q = Q_{12} + Q_{23} = \nu T_1\left(\sqrt{x}-1\right)\left(C_V + \dfrac{R}{2} + \sqrt{x}\,C_P\right)\), и КПД \[\eta = \frac{A}{Q} = \frac{R(\sqrt{x}-1)}{2C_V + R + 2\sqrt{x}\,C_P}.\] Для одноатомного газа \(C_V = \dfrac{3}{2}R\), \(C_P = \dfrac{5}{2}R\), поэтому \(\eta = \dfrac{\sqrt{x}-1}{4 + 5\sqrt{x}}\). Отсюда \(\sqrt{x} = \dfrac{1 + 4\eta}{1 - 5\eta}\) и \(x = \left(\dfrac{1+4\eta}{1-5\eta}\right)^2 = 1{,}6\).