Квадрат с диагоналями из резисторов

Треугольники с общей точкой \(O\) удобно заменять звёздами. Сопротивления лучей звезды найдите из условий совпадения сопротивлений между парами узлов.

Перенумеруем вершины квадрата цифрами от 1 до 4. Преобразуем треугольник 2–3–\(O\) в звезду с центром в точке \(O_1\). Сопротивление треугольника между точками 2 и \(O\): \(R\) параллельно участку из \(R\) и \(2R\) последовательно, то есть \(\dfrac{3R\cdot R}{3R+R} = \dfrac{3R}{4}\). Из условий совпадения сопротивлений для пар 2–\(O\), 2–3 и 3–\(O\) получаем систему \(R_1 + R_2 = \dfrac{3R}{4}\), \(R_2 + R_3 = \dfrac{3R}{4}\), \(R_1 + R_3 = R\), откуда \(R_1 = R_3 = \dfrac{R}{2}\), \(R_2 = \dfrac{R}{4}\).

Далее треугольник 1–\(O\)–4 заменяем звездой с центром в точке \(O_2\) и сопротивлениями \(R' = \dfrac{R}{3}\) (из условия \(\dfrac{2R}{3} = 2R'\)). Сопротивления участков \(O_1\)–3–4–\(O_2\) и \(O_1\)–\(O\)–\(O_2\) равны \(\dfrac{11R}{6}\) и \(\dfrac{5R}{6}\), их параллельное соединение дает \(R_A = \dfrac{55R}{96}\). Добавляя сопротивления \(\dfrac{R}{4}\) и \(\dfrac{R}{3}\), получаем сопротивление правой части \(R_B = \dfrac{111R}{96}\). С учётом сопротивления \(R\) участка 1–2 общее сопротивление квадрата \(R_0 = \dfrac{111R}{207}\).

Тепловая мощность: \(P = \dfrac{\varepsilon^2}{R_0} = \dfrac{207}{111}\cdot\dfrac{\varepsilon^2}{R} = 0{,}84\) Вт.