Стержень в полусферической лунке

Положению равновесия отвечает минимум потенциальной энергии стержня. Выразите её как функцию угла \(\alpha\) и найдите минимум.

Положению равновесия отвечает минимум потенциальной энергии. Угол между стержнем и верхней плоскостью лунки равен \(\alpha\), поэтому нижняя точка стержня поднята над нижней точкой лунки на \[R - R\sin2\alpha,\] а центр тяжести стержня — на \(L\sin\alpha\) над этой точкой (см. рисунок):

Потенциальная энергия стержня как функция угла \(\alpha\): \[\Pi(\alpha) = mg\left(R(1-\sin2\alpha) + L\sin\alpha\right).\] Производная по \(\alpha\) обращается в ноль при \[-2R\cos2\alpha + L\cos\alpha = 0.\] Переходя к \(\cos\alpha\) и учитывая \(\cos2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1\), получаем квадратное уравнение \[\cos^2\alpha - \frac{L}{4R}\cos\alpha - \frac{1}{2} = 0.\] Его положительный корень \[\cos\alpha = \frac{L + \sqrt{L^2+32R^2}}{8R},\] а отрицательный корень не подходит, так как угол \(\alpha\) острый.