Задачи › Центр масс, системы материальных точек

Бусинки на спице и крюк

  1. Бусинки на спице и крюк

    Росатом 2024/25, 11 кл.
    6/10

    На гладкую горизонтальную спицу надели две массивные бусинки массами \(m\) и \(2m\), связанные лёгкой нерастяжимой нитью длиной \(2L\). Вначале нить натянута и является горизонтальной (см. левый рисунок). Затем нить зацепили лёгким крюком и стали тянуть его с силой \(F\), направленной вертикально вниз (см. правый рисунок). Какую скорость будут иметь бусинки в момент их столкновения?

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Горизонтальная проекция импульса системы сохраняется, так как все внешние силы вертикальны. Какая работа совершается силой \(F\) до момента столкновения бусинок?

    Ответ

    Бусинка массой \(m\): \(v_1 = 2\sqrt{\dfrac{FL}{3m}}\); бусинка массой \(2m\): \(v_2 = \sqrt{\dfrac{FL}{3m}}\).

    Решение

    Внешние силы для системы двух бусинок — силы тяжести, силы реакции спицы и сила \(F\), приложенная к крюку. Все они вертикальны, поэтому сохраняется горизонтальная проекция импульса системы. Если скорость бусинки массой \(m\) равна \(v\), то скорость бусинки массой \(2m\) в тот же момент равна \(v/2\).

    Бусинки движутся горизонтально, поэтому потенциальная энергия системы не меняется, а работа внешней силы идёт на кинетическую энергию. До момента встречи точка приложения силы \(F\) проходит расстояние \(L\), поэтому работа внешней силы равна \(FL\), и закон сохранения энергии даёт \[\frac{mv^2}{2} + \frac{2m(v/2)^2}{2} = FL,\] откуда \(v^2 = \dfrac{4FL}{3m}\). Таким образом, скорость бусинки массой \(m\) в момент столкновения \[v_1 = 2\sqrt{\frac{FL}{3m}},\] а скорость бусинки массой \(2m\) \[v_2 = \sqrt{\frac{FL}{3m}}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх