Бусинки на нити

Средняя бусинка опустилась на \(h = \sqrt{(l/2)^2 - (s/2)^2} = 0{,}45\) м. Нить нерастяжима, поэтому проекции скоростей бусинок на направление нити одинаковы. Запишите закон сохранения энергии.

Пусть \(v\) — скорость крайних бусинок, \(u\) — скорость средней, \(\alpha\) — угол нити с вертикалью. Нерастяжимость нити даёт \(u\cos\alpha = v\sin\alpha\), т.е. \(u = v\,\mathrm{tg}\,\alpha\), где \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{s/2}{h} = \dfrac{4}{3}\). Закон сохранения энергии \(2\cdot\dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{mu^2}{2} = mgh\) даёт \[v = \sqrt{l^2 - s^2}\,\sqrt{\frac{g\sqrt{l^2-s^2}}{2l^2-s^2}} \approx 1{,}54~\text{м/с}, \qquad u = s\,\sqrt{\frac{g\sqrt{l^2-s^2}}{2l^2-s^2}} \approx 2{,}06~\text{м/с}.\] Для силы натяжения: крайняя бусинка \(ma_1 = T\sin\alpha\), средняя \(ma_2 = mg - 2T\cos\alpha\), и связь ускорений \(a_2 = a_1\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Отсюда \[T = \frac{mgl\sqrt{l^2-s^2}}{2l^2 - s^2} \approx 0{,}44~\text{Н}.\]