Задачи › Упругие столкновения

Пингвинята на льду

  1. Пингвинята на льду

    Санкт-Петербургская 2024/25, 9 кл.
    6/10

    Двое одинаковых пингвинят в форме шайб радиусом \(R = 0{,}1\) м любят играть на льду. Изначально они расположены, как показано на рисунке (вид сверху). Начальное расстояние между центрами шайб \(L = 1\) м. Первый (верхний на рисунке) пингвинёнок начинает скользить в сторону второго. Прямо перед столкновением скорость первого пингвинёнка равна \(v = 5\) м/с. После абсолютно упругого (возможно, нецентрального) соударения они выставляют лапки, чтобы начать торможение. В результате этого коэффициент трения становится равным \(\mu = 0{,}1\). Пингвинятам страшно удаляться друг от друга очень далеко, поэтому первый налетает на второго так, чтобы конечное расстояние между их центрами оказалось минимальным. Чему оно равно? Считайте шайбы гладкими и однородными. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    При упругом соударении равных гладких шайб скорости после удара взаимно перпендикулярны. Ищите минимум расстояния между центрами по тому, как распределяется начальная скорость между шайбами.

    Ответ

    \(r_{\min} = \sqrt{2}\left(R + \dfrac{v^2}{4\mu g}\right) \approx 9\) м (точнее \(8{,}98\) м).

    Решение

    Для равных гладких шайб при упругом нецентральном ударе сохраняются импульс и энергия; скорости после удара \(v_1\) и \(v_2\) взаимно перпендикулярны, \(v^2 = v_1^2 + v_2^2\). Пути торможения \(L_1 = \dfrac{v_1^2}{2\mu g}\) и \(L_2 = \dfrac{v_2^2}{2\mu g}\), так что \(L_1 + L_2 = \dfrac{v^2}{2\mu g}\) — постоянная величина. Конечное расстояние между центрами \(r = \sqrt{L_1^2 + (L_2 + 2R)^2}\) минимально при \(L_2 = \dfrac{v^2}{4\mu g} - R\), и тогда \(r_{\min} = \sqrt{2}\left(R + \dfrac{v^2}{4\mu g}\right) = \sqrt{2}\left(0{,}1 + 6{,}25\right) \approx 8{,}98\) м.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх