Задачи › Теплопроводность, закон охлаждения Ньютона

Гелий и сверхпроводник

  1. Гелий и сверхпроводник

    Санкт-Петербургская 2024/25, 9 кл.
    7/10

    Петя и Лёня пришли на экскурсию в институт низкотемпературных исследований. Там они нашли установку, схема которой приведена на рисунке. Внутри замкнутого объёма, заполненного газообразным гелием при температуре \(T_0 = -269\) °C, были расположены два проводника: нагреватель и сверхпроводник. Зависимости их сопротивлений от температуры представлены на отдельном листе. Петя подключил нагреватель к источнику постоянного тока силой \(I_0 = 500\) мкА и попросил Лёню предсказать, какой температуры достигнет сверхпроводник спустя длительное время. Пока Лёня думал, Петя подключил к сверхпроводнику такой же источник постоянного тока \(I_0 = 500\) мкА. Подождав длительное время, Петя вновь попросил Лёню предсказать температуру сверхпроводника. Помогите Лёне ответить на Петины вопросы, если начальная температура нагревателя и сверхпроводника равна \(T_0\). Температура гелия поддерживается постоянной в ходе всего эксперимента, а электрического контакта между нагревателем и сверхпроводником нет. Считайте, что теплообмен между телами в установке осуществляется посредством теплопроводности, мощность которой пропорциональна разности температур между рассматриваемыми телами (см. таблицу).

    Рисунок
    Рисунок

    Примечание. Источник постоянного тока пропускает через подключённую к нему нагрузку ток, величина которого постоянна и не зависит от параметров нагрузки. Зависимости сопротивлений нагревателя и сверхпроводника от температуры — на отдельном листе.

    Рисунок

    1. Какой температуры достигнет сверхпроводник после подключения только нагревателя?

    2. Какой температуры достигнет сверхпроводник, когда подключены оба источника?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сверхпроводник без тока отдаёт тепло только гелию и получает тепло от нагревателя. Запишите баланс мощностей для обоих тел в установившемся режиме и используйте график сопротивления нагревателя; сверхпроводник при температуре выше критической имеет сопротивление \(5\) кОм.

    Ответ

    1) \(T_{\text{СП}} \approx -259{,}4\) °C;  2) \(T_{\text{СП}} \approx -255{,}8\) °C.

    Решение

    Для тела без тока баланс мощностей: \(\beta(T - T_{\text{СП}}) = \gamma(T_{\text{СП}} - T_0)\), откуда \(T_{\text{СП}} = \dfrac{\beta T + \gamma T_0}{\beta + \gamma}\). Для нагревателя \(I_0^2 R(T) = \alpha(T - T_0) + \beta(T - T_{\text{СП}})\). Подставив \(T_{\text{СП}}\), получаем \(R(T) = \dfrac{\alpha + \beta\gamma/(\beta+\gamma)}{I_0^2}(T - T_0)\) — прямую, которую пересекают точки графика.

    Первый случай: по графику \(T \approx -257\) °C, отсюда \(T_{\text{СП}} \approx -259{,}4\) °C.

    Второй случай: сверхпроводник тоже нагревается током \(I_0\) и имеет сопротивление \(R_{\text{СП}} = 5\) кОм выше критической температуры. Баланс сверхпроводника: \(\beta(T - T_{\text{СП}}) + I_0^2 R_{\text{СП}} = \gamma(T_{\text{СП}} - T_0)\), откуда \(T_{\text{СП}} = \dfrac{\beta T + \gamma T_0 + I_0^2 R_{\text{СП}}}{\beta+\gamma}\). Совместное решение с балансом нагревателя даёт \(T \approx -254\) °C и \(T_{\text{СП}} \approx -255{,}8\) °C.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх