Задачи › Вычисление сопротивлений, симметрия, бесконечные цепочки

Пятиугольная пластина

  1. Пятиугольная пластина

    Санкт-Петербургская 2024/25, 9 кл.
    6/10

    Правильный пятиугольник вырезан из листа проводящего материала (см. левый рисунок). К рёбрам припаяны тонкие проволочки пренебрежимо малого сопротивления; проволочки не касаются друг друга. Эквивалентное сопротивление между рёбрами \(a\) и \(c\) равно \(R\). При подключении источника напряжения \(U_0\) к рёбрам \(a\) и \(c\) идеальный вольтметр показывает напряжение \(U_1\). На правом рисунке изображена схема из трёх похожих пластин, имеющих в два раза меньшую площадь. Верхние две вырезаны из того же листа, а третья — из листа в два раза большей толщины. Две пары рёбер соединили проводами, как показано на рисунке.

    Рисунок
    Рисунок

    1. Чему равно эквивалентное сопротивление между рёбрами \(a\) и \(b\)?

    2. Определите эквивалентное сопротивление между рёбрами \(x\) и \(y\). Сопротивлением проводов пренебречь.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Используйте симметрию пятиугольника: при подключении к \(a\) и \(c\) токи и потенциалы рёбер связаны. Для пары \(x\), \(y\) сложите сопротивления пластин последовательно и параллельно, учитывая толщину третьей пластины.

    Ответ

    1) \(R_{ab} = \dfrac{2R\,(U_0 - U_1)}{U_0}\);  2) \(R_{xy} = \dfrac{R\,(4U_0 - 3U_1)}{U_0}\).

    Решение

    Ток через пластину при подключении \(U_0\) к \(a\) и \(c\) равен \(I = U_0/R\). Идеальный вольтметр показывает напряжение \(U_1\) между \(a\) и \(c\) при подключении. Из соотношений потенциалов по симметрии пластины разность потенциалов между \(a\) и \(b\) при том же токе равна \(2(U_0 - U_1)\), отсюда \(R_{ab} = \dfrac{2(U_0 - U_1)}{I} = \dfrac{2R\,(U_0 - U_1)}{U_0}\).

    Для схемы из трёх пластин: сопротивление средней пластины \(R\) и сопротивления двух верхних пластин \(R_1\) и \(R_1/2\) (третья пластина — в два раза толще) складываются так, что \(R_{xy} = R + R_1 + \dfrac{R_1}{2} = R\,\dfrac{4U_0 - 3U_1}{U_0}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх