Физика освещения

Подсказка

Показатель цвета (отношение освещённостей через два фильтра) от расстояния до лампы не зависит, поэтому по нему температуру нити можно найти, а её связь с мощностью подчиняется закону Стефана — Больцмана. Освещённость, измеренная прямо против источника, определяет световой поток только после учёта угловой диаграммы излучения. Нагрев пластины в потоке света описывается балансом на лицевой и тыльной поверхностях.

Ответ

Задание 1: калибровка — график \(G/R\) (или \(B/R\)) от \(T\) по таблице 1, \(T\approx1220\,\mathrm{К\cdot Вт^{-1/4}}\cdot\sqrt[4]{P}\) (разброс \(\pm20\,\mathrm{К\cdot Вт^{-1/4}}\)). Задание 2: \(\Phi=Cr^2E(0)\), \(C\approx10{,}0\)–\(10{,}5\) (лампа) и \(C\approx2{,}6\) (светодиод); отдача лампы растёт от нуля до около 20 лм/Вт при 21 Вт, светодиода падает от 360 до 230 лм/Вт при \(P\) от 0,02 до 1,1 Вт. Задание 3: \(h\approx10\) Вт/(м\(^2\cdot\)К), \(\lambda\approx0{,}07\) Вт/(м\(\cdot\)К), альбедо белого пластика \(a\approx0{,}74\pm0{,}03\).

Решение

Что происходит. Три части опыта связаны одной цепочкой. По цвету света (отношение освещённостей через два светофильтра) определяется температура нити: форма спектра чёрного тела задаётся только температурой, а от расстояния до лампы и от доли света, попавшей на люксметр, отношение освещённостей не зависит. Измерив угловое распределение света и проинтегрировав его по сфере, переводим освещённость, замеренную в одной точке, в полный световой поток, а делением на электрическую мощность получаем световую отдачу. Тот же пересчёт даёт облучённость пластины, нагреваемой лампой, и по её нагреву находим теплоотдачу, теплопроводность и альбедо.

Обозначения. \(P=UI\) — электрическая мощность (из показаний источника питания); \(E_R\), \(E_G\), \(E_B\) — освещённости через красный, зелёный и синий фильтры; \(r\) — расстояние от источника до люксметра; \(\theta\) — угол от направления <<прямо вперёд>>; \(\Phi\) — световой поток; \(C\) — коэффициент пересчёта; \(j\) — плотность потока излучения на пластине; \(T_F\), \(T_B\), \(T_0\) — температуры передней и задней поверхностей пластины и окружающей среды; \(d=3\) мм — толщина пластины.

Задание 1(a). Калибровка. Инфракрасный термометр не годится для нити: его диапазон (до \(500\,^\circ\)C) мал, нить слишком мала для замера, а прозрачность стекла колбы для инфракрасного излучения неизвестна. Остаётся определять температуру косвенно — по показателю цвета, для которого связь с \(T\) задана таблицей 1. По закону смещения Вина при росте температуры доля коротких волн растёт, поэтому отношения \(G/R\), \(B/R\) и \(B/G\) с температурой растут. Используем именно отношения, а не сами освещённости: абсолютное значение зависит от расстояния до источника и от яркости самого источника, а отношение — нет.

Считаем по таблице 1 три показателя цвета (числа посчитаны на python) и строим их зависимости от \(T\) (рис. 2).

Рис. 2. Показатели цвета по таблице 1: \(G/R\), \(B/R\), \(B/G\); штрихом — линейные приближения при \(T\ge2000\) К.

Видно, что \(B/G\) меняется слабо (от 0,41 до 0,49 на всём участке от 2000 до 2540 К) — по нему температуру определять неточно. Показатели \(G/R\) и \(B/R\) меняются заметно; синий фильтр пропускает меньше света, поэтому \(B/R\) будет менее точным. Лучший выбор — \(G/R\). Линейные приближения при \(T\ge2000\) К (МНК, python): \[\frac GR=-0{,}690+7{,}40\cdot10^{-4}\,T,\qquad \frac BR=-0{,}645+4{,}84\cdot10^{-4}\,T .\] При низких температурах зависимость загибается и становится неточной (освещённости ниже 10 лк сравнимы с погрешностью \(\pm2\) лк), поэтому для \(T<2000\) К лучше пользоваться плавной кривой, проведённой от руки по точкам, или двумя линейными участками, а не ломаной через точки: разброс точек в таблице превратился бы в выбросы температуры. Пересчёт показателя в температуру — чтение с этой кривой.

Задание 1(b). Зависимость \(T(P)\). Измеряем \(U\) и \(I\) по источнику питания и освещённости \(E_R\), \(E_G\) (и \(E_B\)) через светофильтры, закрывая ими датчик люксметра; свет, отражённый от стен и пола, при этом тоже проходит через фильтр. Берём не менее 8 значений мощности, гуще на малых мощностях, где температура меняется быстрее; расстояние от нити до люксметра достаточно малое, чтобы на малых мощностях сигнал был виден (для показателя цвета конечный размер нити не мешает, в отличие от абсолютных измерений в задании 2). Фон освещённости измеряем через все фильтры в начале и в конце опыта (обычно он нулевой). Фильтры держим подальше от колбы — они боятся нагрева. Заодно измеряем освещённость без фильтра, она понадобится в задании 2. По каждой точке: \(P=UI\); \(G/R=E_G/E_R\); \(T\) — по калибровочной кривой.

Если пренебречь другими потерями и температурой окружающей среды, вся электрическая мощность уходит в излучение нити: по закону Стефана — Больцмана \(P\propto T^4\), то есть \[T\propto\sqrt[4]{P}.\] Организаторы по измерениям на разных лампах получили \(T=(1220\pm20)\ \mathrm{К\cdot Вт^{-1/4}}\cdot\sqrt[4]{P}\); отклонения измерений от этой кривой по температуре порядка \(\pm40\) К, а по расстоянию (10 и 6 см) и по паре фильтров (\(G/R\), \(B/R\)) результаты согласуются в пределах \(\pm100\) К. Их точки (сняты с векторного рисунка решения, температура — по калибровке) приведены в таблице и на рис. 3.

Подгонка \(T=aP^{1/4}\) методом наименьших квадратов по всем 36 точкам (python): \(a=1209\ \mathrm{К\cdot Вт^{-1/4}}\), среднеквадратичное отклонение точек от кривой \(44\) К (без двух точек ниже \(4\) Вт — \(40\) К), по сериям \(a=1193\)–\(1216\); это согласуется с \(1220\pm20\) организаторов (их число получено по нескольким лампам). Ожидаемая картина по формуле и таблице 1: при \(P=5\) Вт \(T\approx1820\) К (\(G/R\approx0{,}67\)), при 10 Вт — 2170 К (0,92), при 16 Вт — 2440 К (1,11), при 20 Вт — 2580 К (1,21).

Рис. 3. Температура нити в зависимости от мощности: точки организаторов (бирюзовые — \(r=6\) см, чёрные — \(r=10\) см; залитые — по \(G/R\), светлые — по \(B/R\)) и кривая \(T=1220\,P^{1/4}\).

Задание 2. Световая отдача. Источники света излучают неодинаково во все стороны. Люксметр на расстоянии \(r\) от источника, повёрнутый перпендикулярно лучу, измеряет освещённость \(E\) малого участка воображаемой сферы вокруг источника, поэтому световой поток — интеграл по телесному углу: \[\Phi=\oint E(\Omega)\,r^2\,d\Omega.\] Освещённость падает как \(r^{-2}\) и зависит от направления. Светодиод светит в полусферу и имеет цилиндрическую симметрию вокруг направления <<прямо вперёд>> (оси); интегрируем по кольцам между полярными углами \(\theta\) и \(\theta+d\theta\) от оси (\(d\Omega=2\pi\sin\theta\,d\theta\)): \[\Phi_{\text{св}}=2\pi r^2\int_0^{\pi/2}E(\theta)\sin\theta\,d\theta .\] У лампы накаливания ось симметрии (нить) перпендикулярна направлению <<вперёд>>, а свет идёт в полный телесный угол; угол \(\theta\) отсчитываем от экватора (направления <<вперёд>>), тогда кольцу соответствует \(d\Omega=2\pi\cos\theta\,d\theta\) на каждое полушарие: \[\Phi_{\text{л}}=4\pi r^2\int_0^{\pi/2}E(\theta)\cos\theta\,d\theta .\] Интегралы считаем численно: по подсказке о площади сегмента сферы \(\Delta A=2\pi r^2(\cos\theta_1-\cos\theta_2)\), то есть суммой по зонам с \(E\) в середине зоны (рис. 4): \[\Phi_{\text{св}}=2\pi r^2\sum_i E(\theta_{i+1/2})(\cos\theta_i-\cos\theta_{i+1}),\] для лампы — то же, но с заменой \(\cos\to\sin\) и множителем \(4\pi\). Точку <<прямо вперёд>> для светодиода берём серединой центральной шапки, а точку на \(\theta=90^\circ\) — серединой последней зоны; при равных шагах значения в серединах интервалов лучше значений на границах. Тот же результат даёт правило трапеций или Симпсона.

Рис. 4. Геометрия измерения углового профиля: светодиод (слева, ось вверх) и лампа накаливания (справа, нить вертикальна, направление <<вперёд>> — вправо); светлые лучи — границы зон, штрих на дуге — положение люксметра.

Всё это сводится к одному коэффициенту: световой поток связан с освещённостью прямо перед источником формулой \[\Phi=Cr^2E(0)\quad\text{или}\quad \Phi=\{4\pi,\,2\pi\}\,\tilde C\,r^2E(0),\] где \(\tilde C\) — поправка к изотропному источнику (четвёрка \(4\pi\) — для лампы, \(2\pi\) — для светодиода). Найдя \(C\) по угловому профилю, дальше достаточно мерить \(E(0)\) при разных мощностях.

Угловые профили. Для измерения выбираем расстояние, при котором сигнал ещё хорошо виден, а фон не мешает; профиль лучше снимать при наибольшей мощности. Для лампы нельзя подходить ближе 10 см (конечный размер нити). Нужно не менее пяти значений \(\theta\) в интервале \([0,\pi/2]\); можно повернуть источник на месте или перемещать люксметр, и можно измерить весь диапазон \([-90^\circ,90^\circ]\), чтобы учесть асимметрию. Рядом с источником не ставим предметов (не кладём его на белую бумагу, не придвигаем экран и фильтры): они отражают или заслоняют свет. Профиль можно мерить и через один из светофильтров. Результаты организаторов (рис. 5): лампа — \(r=15\) см, \(P=20{,}6\) Вт, шаг \(10^\circ\); светодиод — \(r=10\) см, \(P=1{,}33\) Вт, шаг \(10^\circ\) (значения сняты с рисунков организаторов и пересчитаны на python).

Рис. 5. Угловые профили \(E(\theta)/E(0)\): лампа накаливания и светодиод.

По формуле суммы по зонам со значениями из рис. 5 для светодиода получаем \(C=2{,}63\) (\(\tilde C=0{,}42\)), совпадающее с результатом организаторов. Для лампы тот же расчёт (зоны \(0\)–\(5^\circ\), \(5\)–\(15^\circ\), …, \(85\)–\(90^\circ\), как разделены зоны на рисунке организаторов) даёт \[C=4\pi\sum_i\frac{E(\theta_i)}{E(0)}\bigl(\sin\theta_{i+1/2}-\sin\theta_{i-1/2}\bigr)=10{,}54,\qquad \tilde C=\frac{C}{4\pi}=0{,}84.\] Рисунок организаторов векторный, значения сняты с него точно (до \(0{,}001\)), так что это не ошибка съёма. Организаторы приводят \(C=10{,}01\) (\(\tilde C=0{,}80\)); такое число получается из их же точек, если в каждой зоне \(10^\circ\) брать значение на её внешнем крае (\(9{,}99\)), — это занижение, так как \(E(\theta)\) убывает. Оба числа в принимаемом интервале \([9{,}4;\,10{,}6]\); дальше, чтобы не расходиться с графиком отдачи организаторов (он посчитан с их \(C\)), пользуемся \(C=10{,}0\), помня, что отдача лампы может быть на \(5\,\%\) выше. Аналитические оценки без измерений: светодиод — плоский излучатель с косинусным законом \(E(\theta)=E(0)\cos\theta\), \[\tilde C_{\text{св}}=\frac{\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta}{\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta}=\frac12,\qquad C=2\pi\tilde C=\pi\approx3{,}1;\] тонкая нить лампы — \(E(\theta)=E(0)\cos\theta\) в плоскости, содержащей ось, \[\tilde C_{\text{л}}=\frac{\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta}{\int_0^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta}=\frac\pi4\approx0{,}79,\qquad C=4\pi\tilde C=\pi^2\approx9{,}9 .\] Они близки к измеренным, но не заменяют измерение (реальный светодиод даёт \(0{,}42\) вместо \(0{,}50\)).

Световая отдача. Измеряем \(U\), \(I\) и освещённость \(E(0)\) прямо против источника в диапазоне мощностей от наименьшей, при которой свет заметен, до максимально допустимой (лампа — до 12 В; светодиод — до 3,0 В и 400 мА). Для лампы эти измерения удобно делать одновременно с заданием 1. По каждой точке \[\eta=\frac{\Phi}{P}=\frac{C\,r^2E(0)}{UI}.\] Пример: лампа с \(C=10\) при \(r=0{,}15\) м и мощности \(P=21\) Вт даёт \(\eta=20\) лм/Вт, если \(E(0)\approx1{,}9\cdot10^{3}\) лк; тогда \(\Phi=C r^2E(0)\approx430\) лм (число иллюстрирует порядок, взято из рис. 6).

Результат (рис. 6; точки сняты с рисунка организаторов): у лампы отдача растёт от нуля при малых мощностях до \(\approx20\) лм/Вт, так как с ростом температуры нити доля видимого света увеличивается; у светодиода наибольшая отдача при малых мощностях, затем она падает от \(\approx360\) до \(\approx230\) лм/Вт, главным образом из-за нагрева светоизлучающего перехода. На самых малых токах показания источника питания ненадёжны (светодиод может слабо светиться и при токе 0): отсюда <<полюс>> у начала графика светодиода — ошибка отсчёта, а не свойство светодиода. Организаторы описывают лампу формулой \(\eta=\ln\bigl(1+e^{1{,}189P-4{,}632}\bigr)\) (линейная зависимость, плавно загнутая у нуля), светодиод — \(\eta=2{,}56/P-23{,}78P+259{,}56\) (всё в единицах СИ без приставок).

Рис. 6. Световая отдача лампы накаливания и светодиода: точки (с рисунка организаторов) и эмпирические кривые организаторов.

Задание 3. Нагрев излучением. Пластина (чёрная или белая) стоит на расстоянии \(r\) от лампы и получает поток излучения плотностью \(j\). Мощность лампы равна \(P\), а доля, идущая вперёд на пластину, определяется тем же коэффициентом \(C\) из задания 2: \[P=Cr^2 j\ \Longrightarrow\ j=\frac{P}{Cr^2}.\] Можно проинтегрировать и по всей площади пластины с учётом изменения \(C\), \(r\) и угла падения, но это не обязательно.

Падающий поток отводится в окружающую среду как напрямую с лицевой стороны, так и теплопроводностью через пластину (рис. 7). Условие равновесия для лицевой поверхности (баланс потоков): \[j=h(T_F-T_0)+\frac{\lambda}{d}(T_F-T_B),\tag{1}\] для тыльной (света на неё не падает): \[0=h(T_B-T_0)+\frac{\lambda}{d}(T_B-T_F).\tag{2}\]

Рис. 7. Тепловой баланс пластины толщиной \(d\): падающий поток \(j\), потери \(h(T-T_0)\) с обеих поверхностей, поток теплопроводности через пластину.

Складывая (1) и (2), получаем \[j=h\,(T_F+T_B-2T_0),\tag{3}\] а вычитая (2) из (1) — \[j=\Bigl(h+\frac{2\lambda}{d}\Bigr)(T_F-T_B).\tag{4}\] Обе зависимости линейны по \(j\). Строим \(T_F+T_B\) от \(j\) — прямая с наклоном \(1/h\) и отрезком \(2T_0\) на оси ординат, и \(T_F-T_B\) от \(j\) — прямая через начало координат с наклоном \((h+2\lambda/d)^{-1}\). Температура \(T_0\) определяется из отрезка (так её не нужно измерять отдельно, а она включает и излучательный обмен со стенами).

Измерения. Меняем только один параметр — либо расстояние \(r\) (при постоянной мощности), либо ток через лампу; изменение тока меняет спектр и эффективность лампы, поэтому предпочтительнее менять расстояние. Для обеих пластин мерим \(T_F\) и \(T_B\) инфракрасным термометром (лучше парами, друг за другом, чтобы уменьшить ошибку разности из-за изменения условий), дожидаясь установления равновесия, в том числе температуры тыльной стороны; начинать удобно с наименьшей плотности потока. Пластину не ставим слишком близко к лампе (свет распределён неравномерно, есть риск пережечь) и не слишком далеко (нагрев ничтожен, большая относительная ошибка разности температур, особенно у белой). Нужно не менее трёх точек (лучше пять) и по нескольку измерений в каждой. Источники ошибок: разное попадание фона и отражённого инфракрасного излучения, остывание пластины за время замера, потоки воздуха, изменение \(T_0\).

Результаты организаторов для чёрной пластины (рис. 8; плотность потока менялась изменением расстояния; значения сняты с рисунка организаторов; две крайние точки, самая малая и самая большая, в подгонку первого графика не включены) приведены в таблице.

Рис. 8. Чёрная пластина: \(T_F+T_B\) (слева) и \(T_F-T_B\) (справа) от \(j\). Светлые точки не входят в подгонку; прямые — МНК.

Метод наименьших квадратов (python): \(T_F+T_B=(43{,}7\pm1{,}0)\ ^\circ\mathrm{C}+(0{,}0988\pm0{,}0079)\ \dfrac{^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{Вт/м^2}}\,j\) (по четырём средним точкам), \(T_F-T_B=(0{,}0173\pm0{,}0005)\,j\). Отрезок \(43{,}7\ ^\circ\)C даёт \(T_0=21{,}8\ ^\circ\)C (комнатная температура), а отрезок второй прямой практически нулевой (\(0{,}06\) при погрешности порядка \(0{,}1\)), как и должно быть. Отсюда \[h=\frac1{k_1}=\frac1{0{,}0988}\approx10{,}1\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}},\qquad h+\frac{2\lambda}{d}=\frac1{k_2}=\frac1{0{,}0173}\approx57{,}7\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}},\] \[\lambda=\frac d2\Bigl(\frac1{k_2}-\frac1{k_1}\Bigr)=\frac{3\cdot10^{-3}}2\,(57{,}7-10{,}1)\approx0{,}072\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot\text{К}}.\] Погрешности переносим с наклонов (прямое сложение вкладов): \(\sigma_h=\sigma_1/k_1^2\) и \(\sigma_\lambda=\dfrac d2\Bigl(\dfrac{\sigma_1}{k_1^2}+\dfrac{\sigma_2}{k_2^2}\Bigr)\). При \(\sigma_1=0{,}008\), \(\sigma_2=0{,}0005\): \[h=10{,}1\pm0{,}8\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2\cdot\text{К}},\qquad \lambda=0{,}072\pm0{,}004\ \frac{\text{Вт}}{\text{м}\cdot\text{К}}\] (организаторы: \(h=10\), \(\lambda=0{,}072\); принимаемые интервалы \([10;14]\) и \([0{,}06;0{,}08]\)). Обратите внимание: \(2\lambda/d\approx48\) Вт/(м\(^2\cdot\)К) и \(h\approx10\) того же порядка, поэтому считать наклон \(T_F\) равным \(1/(2h)\) или наклон разности равным \(d/(2\lambda)\) можно лишь приближённо: точные выражения — (3) и (4).

Альбедо. Для белой пластины поглощается лишь доля \((1-a)\) потока, то есть \(j\to(1-a)j\) в (1), и обе прямые (3), (4) имеют наклоны в \((1-a)\) раз меньше, чем у чёрной (при тех же \(h\) и \(\lambda\)), по формуле \[j_{\text{погл}}=(1-a)\,\frac{P}{Cr^2}.\] Поэтому альбедо находим как отношение наклонов для белой и чёрной пластин: \(1-a=k_{\text{бел}}/k_{\text{чёрн}}\). Измерять достаточно одну поверхность белой пластины. Подходят наклоны суммы \(T_F+T_B\) и лицевой температуры; разность и \(T_B\) хуже (малый прирост, большая относительная ошибка).

Результаты для белой пластины (рис. 9; значения сняты с рисунка организаторов):

Рис. 9. Белая пластина: \(T_F+T_B\) (слева) и \(T_F-T_B\) (справа) от \(j\); прямые — МНК.

Наклоны по МНК: \(0{,}0250\pm0{,}0005\) и \(0{,}00464\pm0{,}00021\) \(^\circ\)C/(Вт/м\(^2\)) (организаторы: \(0{,}0254\) и \(0{,}00465\)). Отношения наклонов: \[1-a=\frac{0{,}0254}{0{,}0988}=0{,}26,\qquad 1-a=\frac{0{,}00465}{0{,}0173}=0{,}27 .\] Погрешность отношения — сумма относительных погрешностей наклонов (около 10 % по первому графику и около 7 % по второму): \(\pm0{,}03\). Итого \[a\approx0{,}74\pm0{,}03 ,\] оба графика согласуются. Замечание: альбедо в смысле облучённости светомером измерить нельзя — он измеряет в фотометрических единицах, а отражённый от белой пластины свет распределён по углам; поэтому оценка по тепловому балансу.

Проверка. Размерности: \([P/(Cr^2)]=\text{Вт}/\text{м}^2\) как у \(j\); \([h]=\text{Вт}/(\text{м}^2\cdot\text{К})\), \([\lambda/d]=\text{Вт}/(\text{м}^2\cdot\text{К})\), так что (1)–(4) однородны. Предельный случай: при \(\lambda\to\infty\) \(T_F=T_B\) и из (3) \(j=2h(T-T_0)\) (пластина отдаёт с двух сторон); при \(\lambda\to0\) \(T_B=T_0\) и \(j=h(T_F-T_0)\), как для тела, нагреваемого только лицевой стороной. Физический смысл: чёрная пластина при \(j=360\) Вт/м\(^2\) нагревается примерно до \(T_F=41\) \(^\circ\)C (\(T_F+T_B\approx75\) \(^\circ\)C, \(T_F-T_B\approx6\) \(^\circ\)C), то есть на \(20\) К выше комнатной — в рамках линейной модели теплоотдачи (\(h\approx10\)); для белой та же плотность потока даёт прирост в 4 раза меньше (\(1-a\approx0{,}26\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.